Локальное кольцо
Локальное кольцо —
Определение
Кольцо R локально, если выполняется одно из следующих эквивалентных свойств:
- R левый идеал;
- R имеет единственный максимальный правый идеал;
- Множество необратимых элементов R замкнуто относительно сложения, и единица кольца не совпадает с нулем.
В этом случае единственный максимальный левый идеал совпадает с максимальным правым идеалом и состоит из всех необратимых элементов кольца. Обратно, если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.
Примеры
- Все собственный идеалв них — нулевой идеал.
- Важный класс локальных колец — кольца дискретного нормирования. В частности, все локальные области главных идеалов являются кольцами дискретного нормирования.
- Кольцо формальных степенных рядов от любого числа переменных локально.
- Локализация любого коммутативного кольца R по простому идеалу является локальным кольцом.
Ростки функций
Данный пример позволяет понять происхождение термина «локальный». Рассмотрим кольцо
Чтобы проверить, что это кольцо локально, опишем все его необратимые элементы. Очевидно, что росток функции f, такой что f(0) = 0, необратим. Обратно, если f(0) ≠ 0, то из непрерывности следует, что f(x) ≠ 0 в некоторой окрестности нуля. Возьмем функцию g(x) = 1/f(x), определенную в этой окрестности, её росток является обратным к ростку функции f, и потому росток функции f обратим. Значит, необратимыми являются только ростки функций таких, что f(0) = 0. Таким образом, сумма двух необратимых ростков необратима, следовательно, кольцо ростков локально.
В точности те же самые аргументы позволяют доказать, что росток непрерывных функций в точке произвольного топологического пространства, или гладких функций в точке гладкого многообразия, или рациональных функций в точке алгебраического многообразия являются локальными. Последний пример представляет большую важность в алгебраической геометрии. В частности, схемы, являющиеся обобщением алгебраических многообразий, определяются как локально окольцованные пространства с дополнительными свойствами.
Некоммутативные локальные кольца
Некоммутативные локальные кольца естественным образом появляются при изучении разложений
Если k — поле ненулевой
Локализация кольца по простому идеалу
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и — простой идеал в нём. Множество — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу .
Локализацией кольца R по простому идеалу называется кольцо частных кольца R по мультипликативной системе . Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм кольца R в по формуле .
При этом все обратимые элементы в имеют вид , где оба элемента , а необратимые — имеют вид r/s, и образуют идеал . Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца , он — максимальный идеал, а — локальное кольцо.
См. также
Литература
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
- Lam, T.Y. A first course in noncommutative rings (неопр.). — 2nd. — Springer-Verlag, 2001. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95183-0.
- Jacobson, Nathan. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.