Алгебраическое многообразие
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Kummer_surface.png/300px-Kummer_surface.png)
Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения
Определение алгебраического многообразия может слегка различаться у разных авторов: некоторые авторы[2] включают в определение свойство неприводимости (это значит, что многообразие не может быть объединением меньших многообразий, см. ниже), тогда как некоторые[3] различают неприводимые и «общие» многообразия. В данной статье мы будем придерживаться первого соглашения и будем называть множества решений систем уравнений, не являющиеся неприводимыми, алгебраическими множествами.
Понятие алгебраического многообразия имеет некоторое сходство с понятием
Доказанная около 1800 года основная теорема алгебры установила связь между алгеброй и геометрией, показав, что приведённый многочлен от одной переменной (алгебраический объект) однозначно определяется своими комплексными корнями, то есть конечным множеством точек на комплексной плоскости (геометрический объект). Теорема Гильберта о нулях, обобщая этот результат, установила фундаментальное соответствие между идеалами кольца многочленов и алгебраическими многообразиями. Используя теорему Гильберта о нулях и связанные с ней результаты, математики установили соответствие между вопросами об алгебраических многообразиях и вопросами теории колец; использование подобных соответствий является отличительной чертой алгебраической геометрии.
Определения
Существуют различные типы алгебраических многообразий: аффинные многообразия, проективные многообразия, квазипроективные многообразия. Алгебраическое многообразие в наиболее общем смысле получается склейкой нескольких квазипроективных многообразий.
Аффинные многообразия
Пусть k —
Замкнутые множества в топологии Зарисского на — это все множества вида Z(S), также эти замкнутые множества называются алгебраическими множествами. Аффинное алгебраическое многообразие — это алгебраическое множество, которое нельзя представить в виде объединения двух меньших алгебраических множеств.
Подмножеству можно сопоставить идеал, состоящий из многочленов, равных нулю на этом подмножестве:
В случае, когда V — алгебраическое многообразие,
Проективные и квазипроективные многообразия
Пусть k — алгебраически замкнутое поле и — n-мерное проективное пространство над k, то есть проективизация . Никакой многочлен не определяет функцию на этом пространстве (так как у одной точки существует множество различных однородных координат), однако для однородного многочлена от n + 1 переменной можно корректно определить точки, в которых многочлен равен нулю (так как пропорциональным однородным координатам соответствуют пропорциональные значения однородного многочлена). Таким образом, множеству однородных многочленов S можно сопоставить множество точек Z(S), в которых все эти многочлены равны нулю, это определяет топологию Зарисского на проективном пространстве. Проективное алгебраические многообразие — это неприводимое замкнутое (в топологии Зарисского) подмножество проективного пространства . Множеству V можно сопоставить однородный идеал, порождённый однородными многочленами, равными нулю на V. Факторкольцо по нему называется однородным координатным кольцом.
Квазипроективное многообразие — это открытое подмножество проективного многообразия. В частности, любое аффинное многообразие изоморфно квазипроективному[5].
Абстрактные алгебраические многообразия
В классической алгебраической геометрии рассматривались только квазипроективные многообразия. Недостаток этого определения состоит в том, что приходится фиксировать определенное вложение многообразия в проективное пространство: например, нельзя называть многообразием до тех пор, пока не задано его вложение в проективное пространство (для задания такого вложения приходится использовать
Первая попытка определить алгебраическое многообразие абстрактно (то есть не задавая вложение в проективное пространство) была сделана Вейлем, который в работе Foundations of Algebraic Geometry определил многообразия при помощи нормирований. Клод Шевалле предложил определение схемы, которое работало в большем числе ситуаций. Однако определение схемы, данное Александром Гротендиком, было ещё более общим и было признано большим числом математиков. На языке теории схем алгебраическое многообразие обычно определяют как целую отделимую схему конечного типа над алгебраически замкнутым полем[6], некоторые авторы также отбрасывают требование алгебраической замкнутости или неприводимости.
Примеры
Ниже приведено несколько примеров алгебраических многообразий (более того, все они являются алгебраическими кривыми). Множество других примеров можно найти в категории алгебраические кривые.
Размерность многообразия→
Степень многочлена↓ |
0 | 1 | 2 | … | k |
---|---|---|---|---|---|
1 | Точка | Прямая | Плоскость | … | Гиперплоскость |
2 | Коника | Поверхность второго порядка | … | Квадрика | |
3 | Кубика | Поверхность третьего порядка | … | Многообразие 3 порядка | |
4 | Квартика | Поверхность четвёртого порядка | … | Многообразие 4 порядка | |
… | … | … | … | … | |
k | Алгебраическая кривая | Алгебраическая поверхность | … | Алгебраическое многообразие |
Аффинная прямая
Рассмотрим многочлен из кольца
Множество нулей этого многочлена — аффинная прямая в . Чтобы доказать, что аффинная прямая является алгебраическим многообразием, достаточно заметить, что многочлен неприводим, а кольцо k[x, y] факториально (в факториальном кольце главный идеал, порождённый неприводимым многочленом, прост).
Квадрики
Все эллипсы, параболы и гиперболы (то есть все
Скрученная кубика
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Twisted_cubic_curve.png/200px-Twisted_cubic_curve.png)
Множество точек пространства , имеющих вид — аффинное алгебраическое многообразие, и, более того, алгебраическая кривая, не содержащаяся ни в какой плоскости.[8] Это множество — «скрученная кубика», изображенная на иллюстрации выше (точнее, изображена её проекция на трёхмерное вещественное пространство). Его можно задать как множество общих нулей двух уравнений:
Наиболее простой способ доказать неприводимость этого множества — использовать проекцию (x, y, z) → (x, y), которая
Обычно скрученную кубику рассматривают как проективное многообразие в , являющееся образом
Связанные определения
Регулярное отображение
Регулярное отображение между аффинными многообразиями — это отображение, заданное многочленами. Более точно, если — аффинные многообразия, регулярное отображение — это отображение вида , где , а , то есть образ любой точки из X удовлетворяет уравнениям, задающим Y.
Более обще, отображение ƒ:X→Y квазипроективных многообразий регулярно в точке x, если существует окрестность U точки x и окрестность V точки f(x), такие что ограничение ƒ:U→V — регулярное отображение (аффинных) многообразий. Тогда отображение регулярно, если оно регулярно во всех точках области определения.
Регулярное отображение в называется регулярной функцией. Кольцо регулярных функций на аффинном многообразии V называется координатным кольцом k[V]. Это определение совпадает с данным выше определением координатного кольца, так как две регулярные функции на совпадают на тогда и только тогда, когда их разность принадлежит . Также это кольцо совпадает с кольцом рациональных функций, значения которых конечны во всех точках V (доказательство этого факта использует неприводимость многообразия[9]), или, более абстрактно, с кольцом глобальных сечений структурного пучка на V (см. статьи Спектр кольца, Схема). Также можно рассмотреть поле функций k(V) на алгебраическом многообразии V, состоящее из всех рациональных функций на V.
Регулярные отображения, по определению, суть
Обратимое регулярное отображение, обратное к которому также регулярно, называется бирегулярным отображением. Алгебраические многообразия изоморфны тогда и только тогда, когда между ними существует бирегулярное отображение.
Регулярность отображения является довольно сильным условием: например, из
Размерность многообразия
Пусть k[V] — координатное кольцо многообразия V. Тогда размерность V — это
.Существует множество эквивалентных определений размерности. Например, пусть x — произвольная неособая точка многообразия V, тогда структурный пучок на V позволяет определить локальное кольцо Rx «рациональных функций в точке x» с максимальным идеалом m, тогда размерность многообразия — это размерность факторкольца m/m2 как векторного пространства над полем Rx/m. Ещё одно определение: размерность аффинного многообразия A — это супремум таких n, что существует цепочка аффинных подмногообразий .
Алгебраические многообразия размерности 1 называют алгебраическими кривыми. Чаще всего рассматривают комплексные алгебраические кривые, в окрестности неособой точки они гомеоморфны двумерному действительному многообразию. Род комплексной алгебраической кривой — это род соответствующей топологической поверхности.
Алгебраические многообразия размерности 2 называют алгебраическими поверхностями.
См. также
Примечания
- ↑ Хартсхорн, 1981, с. 86−88.
- ↑ Хартсхорн, 1981, с. 18.
- ↑ Харрис, 2005, с. 17.
- ↑ Джет Неструев. Гладкие многообразия и наблюдаемые. Глава 2, предложение 2.4.
- ↑ Хартсхорн, 1981, упражнение 2.9, с. 30.
- ↑ Хартсхорн, 1981, с. 141.
- ↑ Хартсхорн, 1981, с. 21.
- ↑ Харрис, с. 24; неприводимость этого множества — упражнение у Хартсхорна, с. 24.
- ↑ Хартсхорн, 1981, с. 35.
- ↑ Харрис, 2005, с. 171.
Литература
- Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007. — 296 с. — ISBN 978-5-94057-195-7.
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.
- Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: МЦНМО, 2007. — 589 с. — ISBN 978-5-94057-085-1.
- Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.
Ссылки
- Ravi Vakil, MATH 216: Foundations of algebraic geometry Архивная копия от 5 октября 2013 на Wayback Machine (версия 11.06.2013) — записки курса алгебраической геометрии, прочитанного в Стэнфордском университете.
- SURFER Архивная копия от 2 июля 2017 на Wayback Machine — свободно распространяеммая программа для визуализации алгебраическикх поверхностей.