Матрица Гильберта

В

${\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}},i,j=1,2,3,...,n}$

Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}$

На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:

${\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}$

то есть, как на

Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{2}}$ - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 10⁵.

Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: «Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx}$

был бы меньше любого заданного числа ε > 0?» Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина интервала b − a < 4.

• Матрица Гильберта является симметричной положительно определённой матрицей. Более того, матрица Гильберта является вполне положительной матрицей.

• Матрица Гильберта является примером ганкелевой матрицы.

• Определитель матриц Гильберта может быть выражен явно, как частный случай определителя Коши
  . Определитель матрицы Гильберта n × n равен

Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:

${\displaystyle \det(H)\approx a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}}$

где a_n сходится к константе ${\displaystyle e^{1/4}2^{1/12}A^{-3}\approx 0.6450}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, где A — постоянная Глейшера-Кинкелина.

• Матрица,
  биномиальные коэффициенты
  :

${\displaystyle (H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}}$

где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы ${\displaystyle H^{-1}}$ — целые числа.

• Число обусловленности матрицы Гильберта n × n возрастает как ${\displaystyle O((1+{\sqrt {2}})^{4n}/{\sqrt {n}})}$.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (3 октября 2021)

• JFM 25.0817.02
  . Перепечатано в Hilbert, David. article 21 // Collected papers (неопр.). — Т. II.
• Beckermann, Bernhard. The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices (англ.) //
  doi:10.1007/PL00005392
  .
• Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix (англ.) //
  doi:10.2307/2975779. — JSTOR 2975779
  .
• Todd, John. The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix (англ.) // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series : journal. — 1954. — Vol. 39. — P. 109—116.
• Wilf, H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities (англ.). — Heidelberg: Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X.