Кривая Гильберта

Кривая Гильберта (известная также как заполняющая пространство кривая Гильберта) — это непрерывная

заполняющая пространство кривая, впервые описанная немецким математиком Давидом Гильбертом в 1891 году^[1], как вариант заполняющих пространство кривых Пеано, открытых итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1890 году^[2]

.

Поскольку кривая заполняет плоскость, её размерность Хаусдорфа равна $2$ (в точности, её образ является единичным квадратом, размерность которого равна 2 при любом определении размерности, а её граф является компактным множеством, гомеоморфным замкнутому единичному интервалу с хаусдорфовой размерностью 2).

$H_{n}$ является $n$ -м приближением к предельной кривой. Евклидова длина кривой $H_{n}$ равна $\textstyle 2^{n}-{1 \over 2^{n}}$ , то есть растёт экспоненциально от $n$ , будучи в то же время всегда в пределах квадрата с конечной площадью.

Рисунки

Кривая Гильберта, первый шаг
Кривые Гильберта, первый и второй шаги
Кривые Гильберта, с первого по третий шаги
Ниточная графика
Кривая Гильберта в цвете

Трёхмерная кривая Гильберта
Трёхмерная кривая Гильберта в цвете, указывающем последовательность
Анимационная иллюстрация, показывающая прохождение кружков по кривой.

Приложения и алгоритмы отображения

Как истинная кривая Гильберта, так и её дискретная аппроксимация дают отображение одномерного и двумерного пространств, довольно хорошо сохраняющих локальные свойства^[3]. Если обозначить через (x, y) координаты точки в единичном квадрате, а через d расстояние вдоль кривой, на котором эта точка достигается, то точки, имеющие близкие к d значения, будут иметь также близкие значения и к (x, y). Обратное не всегда верно — некоторые точки, имеющие близкие координаты (x, y), имеют достаточно большую разницу в расстоянии d.

Ввиду этого свойства локальности кривая Гильберта широко применяется в компьютерных программах. Например, диапазон

R-дерева^[4]. Кривые Гильберта использовались также для сжатия информационных баз данных^[5]^[6]

.

Полезно иметь алгоритм, позволяющий делать преобразование в обоих направлениях (как из (x, y) в d, так и из d в (x, y)). Во многих языках программирования предпочтительнее использовать итерации, а не рекурсию. Следующая программа на языке C осуществляет отображение в обоих направлениях, используя итерации и битовые операции, а не рекурсию. Программа предполагает разбиение квадрата на n х n ячеек (квадратов со стороной 1), где n является степенью двойки. Координаты (0,0) принадлежат левому нижнему углу, а (n-1, n-1) — правому верхнему углу. Расстояние d отсчитывается от левого нижнего угла (расстояние 0) и растёт до $n^{2}-1$ в правом нижнем углу.

//Преобразовать (x,y) к d
int xy2d (int n, int x, int y) {
    int rx, ry, s, d=0;
    for (s=n/2; s>0; s/=2) {
        rx = (x & s) > 0;
        ry = (y & s) > 0;
        d += s * s * ((3 * rx) ^ ry);
        rot(s, &x, &y, rx, ry);
    }
    return d;
}

//Преобразовать d к (x,y)
void d2xy(int n, int d, int *x, int *y) {
    int rx, ry, s, t=d;
    *x = *y = 0;
    for (s=1; s<n; s*=2) {
        rx = 1 & (t/2);
        ry = 1 & (t ^ rx);
        rot(s, x, y, rx, ry);
        *x += s * rx;
        *y += s * ry;
        t /= 4;
    }
}

//вращаем/отражаем квадрант
void rot(int n, int *x, int *y, int rx, int ry) {
    if (ry == 0) {
        if (rx == 1) {
            *x = n-1 - *x;
            *y = n-1 - *y;
        }

        //Обмениваем x и y местами
        int t  = *x;
        *x = *y
        
        *y = t;
    }
}

Программа использует соглашения языка C: знак & означает побитную операцию AND (И), знак ^ — побитную XOR (ИЛИ), знак += означает оператор добавления к переменной, а знак /= — операцию деления переменной.

Функция xy2d работает сверху вниз, начиная со старших битов x и y, и начинает построение d со старших битов. Функция d2xy работает в противоположном направлении, начиная с младших битов d, и строит x и y с младших битов. Обе функции используют функцию вращения и отражения системы координат (x, y).

Оба алгоритма работают похожим образом. Весь квадрат рассматривается как 4 области 2 х 2. Каждая область состоит из 4 меньших областей и так далее до конечного уровня. На уровне s каждая область имеет s х s ячеек. Имеется единственный цикл FOR, пробегающий через уровни. На каждой итерации добавляется значение к d или к x и y, которое определяется областью (из четырёх), в которой находимся на данном уровне. Области задаются парой (rx, ry), где rx и ry принимают значение 0 или 1. Таким образом, область определяется 2 входными битами (либо двумя битами из d, либо по биту из x и y), и по ним образуется два выходных бита. Также вызывается функция вращения, чтобы (x, y) можно было использовать на следующем уровне на следующей итерации. Для xy2d она начинается с верхнего уровня всего квадрата и движется вниз до нижнего уровня до индивидуальных ячеек. Для d2xy процесс начинается снизу с ячеек и движется вверх до полного квадрата.

Можно реализовать эффективно кривые Гильберта, даже если область не образует квадрат^[7]. Более того, существуют некоторые обобщения кривых Гильберта для более высоких размерностей^[8]^[9].

Представление в системе Линденмайера

Создание кривой Гильберта можно переписать для L-системы.

Шестая итерация создания кривой Гильберта

Алфавит : A, B

Константы : F + −

Аксиома : A

Правила:

A → − B F + A F A + F B −

B → + A F − B F B − F A +

Здесь F означает «движение вперёд», «−» означает поворот влево на 90°, «+» означает поворот вправо на 90° (см. turtle graphics), а A и B игнорируются при рисовании.