Отношение (теория множеств)

Отноше́ние —

параллельность

и многие другие.

Понятие отношения как подмножества

.

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (

рефлексивность

.

${\displaystyle n}$-местным (${\displaystyle n}$-арным) отношением ${\displaystyle R}$, заданным на множествах ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}}$, называется подмножество

этих множеств: ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$. Факт связи ${\displaystyle n}$-ки элементов ${\displaystyle \langle m_{1}\in M_{1},m_{2}\in M_{2},\dots m_{n}\in M_{n}\rangle }$ отношением ${\displaystyle R}$ обозначается ${\displaystyle R(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$ или ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})\in R}$.

Факт связи объектов ${\displaystyle m_{1}\in M_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}\in M_{2}}$ бинарным отношением ${\displaystyle R\subset M_{1}\times M_{2}}$ обычно обозначают с помощью

: ${\displaystyle m_{1}\,R\,m_{2}}$. Одноместные (унарные) отношения соответствуют свойствам или атрибутам, как правило, для таких случаев терминология отношений не используется. Иногда используются трёхместные отношения (тернарные), четырёхместные отношения (кватернарные); об отношениях неопределённо высокой арности говорят как о мультиарных («многоместных»).

Универсальное отношение — это отношение, связывающее все элементы заданных множеств, то есть, совпадающее с декартовым произведением: ${\displaystyle R=M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$.

Нуль-отношение — отношение, не связывающее никакие элементы, то есть пустое множество: ${\displaystyle R=\varnothing \subset M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$.

Функциональное отношение — отношение, образующее функцию: ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1}}$ является функциональным, если из выполнения ${\displaystyle R(m_{1},\dots ,m_{n},x)}$ и ${\displaystyle R(m_{1},\dots ,m_{n},y)}$ следует, что ${\displaystyle x=y}$ (обеспечивается единственность значения функции).

Наиболее распространённые в языке математики отношения — бинарные над одним множеством (${\displaystyle R\subseteq M^{2}}$), наиболее часто используются обладающие некоторыми общими свойствами^[1]:

• симметричностью (${\displaystyle a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a}$) или антисимметричностью (${\displaystyle a\,R\,b\,\wedge \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b}$),
• рефлексивностью (${\displaystyle a\,R\,a}$) или
  антирефлексивностью
  ${\displaystyle \neg \,(a\,R\,a)}$,
• транзитивностью
  (${\displaystyle a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow a\,R\,c}$) или антитранзитивностью (${\displaystyle a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow \neg \,a\,R\,c}$),
• связностью (${\displaystyle a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a}$).

В зависимости от набора свойств бинарных отношений формируются некоторые широко используемые их виды:

• рефлексивное, транзитивное и симметричное
  отношение;
• отношение предпорядка
   — рефлексивное и транзитивное;
• отношение частичного порядка
   — рефлексивное, транзитивное и антисимметричное;
• отношение строгого порядка
   — антирефлексивное, транзитивное, антисимметричное;
• отношение линейного порядка
   — связное, рефлексивное, антисимметричное.

Важную роль играет

отношение равенства

 — отношение эквивалентности, выполненное только для двух совпадающих элементов.

Могут быть и другие комбинации свойств отношений, например, транзитивно и рефлексивно, но не обладает другими простыми свойствами, отношение делимости на множестве натуральных чисел, обычно обозначаемое символом ${\displaystyle |}$, оно состоит из пар вида ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$, где ${\displaystyle x}$ делит ${\displaystyle y}$ нацело. Пример тернарного отношения — образование пифагоровой тройки тремя числами, нахождение в отношении пифагоровой четвёрки — пример кватернарного отношения.

Более свободный набор свойств бинарных отношений применяется в

— как множество вершин с произвольным бинарным отношением над ним.

Алгебры отношений

Все ${\displaystyle n}$-арные отношения над декартовым произведением ${\displaystyle M_{1}\times \dots \times M_{n}}$ образуют

дополнения

.

Реляционная алгебра — замкнутая система операций над отношениями в реляционной модели данных.

• Отношение — статья из Математической энциклопедии. Д. М. Смирнов
• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Издательство Московского университета, 1982. — 120 с. — 29 500 экз.