Множество

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, представляющее собой набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества^[1]. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы^[2].

Изучением общих свойств множеств занимаются

теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую терминологию и идеологию.

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов^[3][4][5].

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы)

. Множество всех объектов, обладающих свойством ${\displaystyle A(x)}$ (то есть утверждением, истинность которого зависит от значения переменной ${\displaystyle x}$), он обозначил ${\displaystyle \{x\mid A(x)\}}$, а само свойство ${\displaystyle A(x)}$ назвал характеристическим свойством множества ${\displaystyle X}$.

Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела к парадоксам — в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году

.

В практике, сложившейся с середины XX века, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (

(различных порядков).

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами

, их элементы — строчными. Если ${\displaystyle a}$ — элемент множества ${\displaystyle A}$, то пишут ${\displaystyle a\in A}$ («${\displaystyle a}$ принадлежит ${\displaystyle A}$») или ${\displaystyle A\ni a}$ («${\displaystyle A}$ содержит ${\displaystyle a}$»). Если ${\displaystyle a}$ не является элементом множества ${\displaystyle A}$, то пишут ${\displaystyle a\notin A}$ («${\displaystyle a}$ не принадлежит ${\displaystyle A}$»).

Если всякий элемент множества ${\displaystyle A}$ содержится в ${\displaystyle B}$, то пишут ${\displaystyle A\subset B}$ («${\displaystyle A}$ лежит в ${\displaystyle B}$, является его подмножеством»). Согласно теории множеств, если ${\displaystyle X\subset Y}$, то для всякого элемента ${\displaystyle a\in Y}$ определено либо ${\displaystyle a\in X}$, либо ${\displaystyle a\not \in X}$.

Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то есть ${\displaystyle \{6,11\}=\{11,6\}}$. Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено число вхождений одинаковых элементов, то есть запись ${\displaystyle A=\{11,11,6,11,6\}}$, вообще говоря, не имеет смысла, если ${\displaystyle A}$ — множество. Однако корректной будет запись множества ${\displaystyle B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}}$.

Множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют равными, или одинаковыми, (и пишут ${\displaystyle A=B}$), если их численность одинакова и указанные множества состоят из одних и тех же элементов. Другими словами, множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют равными, если для любого объекта ${\displaystyle x}$ верно, что ${\displaystyle x\in A}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\in B}$, а это означает, что из принадлежности ${\displaystyle x}$ одному множеству следует принадлежность второму, и наоборот.

Численностью множеств (конечных) занимается наука арифметика, не обращая внимания на другие свойства множеств.

Множества можно сравнить по количеству их элементов. Множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют равносильными (равномощными, или эквивалентными), т. е. равными по силе, (и пишут ${\displaystyle A\sim B}$), если численность у них совпадает. В широком математическом смысле это значит, что можно установить взаимное однозначное (т. е. парное) соответствие между ними.

Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и их описанием.

Первый способ требует задать (перечислить) все элементы, входящие в множество. Например, множество ${\displaystyle Y}$ неотрицательных чётных чисел, меньших 10, задастся: ${\displaystyle Y=\{0,2,4,6,8\}.}$ Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать перечислением (например, если множество содержит бесконечное число элементов). В таком случае его можно описать свойствами принадлежащих ему элементов.

Множество ${\displaystyle Y\subset X}$ задано, если указано условие ${\displaystyle A(x)}$, которому удовлетворяют все элементы ${\displaystyle x\in X:x\in Y}$, и которому не удовлетворяют ${\displaystyle x\in X:x\notin Y}$. Обозначают ${\displaystyle Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.}$

Например, график функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ можно задать следующим образом:

${\displaystyle \Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\times Y:f(x)=y{\big \}},}$

где ${\displaystyle \times }$ — декартово произведение множеств.

Для множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ могут быть заданы отношения:

• ${\displaystyle A}$ включено в ${\displaystyle B}$, если каждый элемент множества ${\displaystyle A}$ принадлежит также и множеству ${\displaystyle B}$:

  ${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\left(a\in A\Rightarrow a\in B\right)}$

• ${\displaystyle A}$ включает ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle B}$ включено в ${\displaystyle A}$:

  ${\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}$

• ${\displaystyle A}$ равно ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ включены друг в друга:

  ${\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\;\,{\text{и}}\;\,B\subseteq A}$

  • Для любых множеств ${\displaystyle A=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$, то ${\displaystyle B=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$, ${\displaystyle B=C}$, то ${\displaystyle A=C}$.

Подмножество ${\displaystyle A}$ называется собственным подмножеством ${\displaystyle B}$ (и пишут ${\displaystyle A\subset B}$), если ${\displaystyle A\neq B}$.

Иногда различают строгое включение (${\displaystyle A\subset B}$) от нестрогого (${\displaystyle A\subseteq B}$), различающиеся тем, что из ${\displaystyle A\subset B\not \Rightarrow A=B}$. Однако в большинстве случаев строгость включений не расписывают, отчего встречаются записи произвольных включений знаками строгого включения. Иногда употребляют символ ${\displaystyle \subsetneq }$ как символ строгого включения.

Для наглядного представления операций часто используются

, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные множества.

Пересечение (множество общих точек):

${\displaystyle A\cap B\;\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\,\{x\mid x\in A\;\,{\text{и}}\;\,x\in B\}=\{x\mid x\in A,\,x\in B\}}$.

Объединение (множество всех точек):

${\displaystyle A\cup B\;\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\,\{x\mid x\in A\;\,{\text{или}}\;\,x\in B\}=\{x,y\mid x\in A,\,y\in B\}}$.

Объединение непересекающихся ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$) также обозначают ${\displaystyle A+B=A\cup B}$.

Разность (множество точек первого без второго):

${\displaystyle A\setminus B\;\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\,\{x\mid x\in A\;\,{\text{и}}\;\,x\notin B\}=\{x\mid x\in A,\,x\notin B\}}$.

Симметрическая разность:

${\displaystyle A\bigtriangleup B\equiv A\mathbin {\dot {-}} B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$;

Пусть ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — универсальное множество и ${\displaystyle A}$ — произвольное его подмножество (${\displaystyle A\subseteq \mathbb {U} }$).

множества ${\displaystyle A}$ (до множества ${\displaystyle \mathbb {U} }$) (множество ${\displaystyle \mathbb {U} }$ без ${\displaystyle A}$):

${\displaystyle {\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\complement \left(A\right)=\mathbb {U} \setminus A\;\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;\,\{x\in \mathbb {U} \mid x\notin A\}}$.

${\displaystyle A}$ (множество всех подмножеств):

${\displaystyle {\mathfrak {B}}\left(A\right)=2^{A}=\{X\mid X\subseteq A\}}$.

Для операций над множествами также справедливы законы де Моргана:

${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)}$,

${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}$.

Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения, затем — объединения, разности и симметрической разности^{[источник не указан 2074 дня]}. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых, в частности, верно, что ${\displaystyle (a+b)-c=a+(b-c)}$, для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если ${\displaystyle A=\{1,3\}}$, ${\displaystyle B=\{1,2\}}$, ${\displaystyle C=\{2,3\}}$, то ${\displaystyle (A\cup B)\setminus C=\{1\}}$, но, в то же время, ${\displaystyle A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}}$.

Декартовым (или прямым) произведением множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют упорядоченное множество, обозначаемое ${\displaystyle (A\times B)}$, элементами которого являются всевозможные пары элементов исходных множеств; ${\displaystyle A\times B=\left\{\left(a,b\right)\mid a\in A\;\,{\text{и}}\;\,b\in B\right\}}$.

Удобно представить, что элементы декартова произведения заполняют таблицу элементов, столбцы которой описывают все элементы одного множества, а строки, соответственно, другого.

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции, были равномощны. Обозначается ${\displaystyle |A|}$ или ${\displaystyle \sharp A}$. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные

, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если ${\displaystyle A\subseteq B}$, то ${\displaystyle |A|\leqslant |B|}$) и распространяющие свойства мощности булеана конечного множества: ${\displaystyle |2^{A}|=2^{|A|}}$ на случай бесконечных множеств. Само обозначение ${\displaystyle 2^{A}}$во многом мотивировано этим свойством.

Наименьшая бесконечная мощность обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$, это мощность счётного множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {N} }$). Мощность континуального множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$) обозначаетсяя ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ или ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$. Во многом определение мощности континуума строится на континуум-гипотезе — предположении об отсутствии промежуточных мощностей между счётной мощностью и мощностью континуума.

Специальные множества

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• Одноэлементное множество — множество, состоящее из одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества и объекты, участвующие в рассматриваемой задаче».

• Кортеж (в частности, упорядоченная пара
  ) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
• Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
• Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
• линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля
  в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
• Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
• Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

• Система множеств (множество множеств) — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения (например, все они могут быть подмножествами некоторого другого множества)^[7].
  • Алгебра множеств, кольцо множеств — примеры типов структур, являющихся системами множеств.
  • Булеан
     — множество всех подмножеств данного множества.
• Семейство множеств — индексированный аналог системы множеств.
• Подмножество
• Надмножество

	В Викисловаре есть статья «множество»

	В Викисловаре есть статья «совокупность»

• К. Куратовский, А. Мостовский
  . Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.