Представление от времени не зависит.
Описание представления Гейзенберга
Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор
, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства
. В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:
|
где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.
Связь между операторами в представлении Шрёдингера и Гейзенберга
Пусть
- оператор в представлении Шрёдингера, а
- оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:
|
где
- оператор эволюции:
![{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b663a6a17878eff17455ee268fac2afa041d958)
![{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t_{0}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1488c63e7d527d3e966e3d7cea9179a59718d669)
где
- операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то
![{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fbdec1940b1f719924e654effc7050d710f9ae)
и унитарное преобразование принимает вид:
![{\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2535c79ca3019cc08e1669099aebceb2bb72a7)
Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга
Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
![{\displaystyle {\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6d80357876d392d0257924273d684b244e4cda)
где
- оператор Гамильтона.
Введем оператор эволюции
, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:
![{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c575ff89080e4711ad13bfffd04711416cc07f)
Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:
![{\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),\qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e741a8f0bae2592b3cfb1a4abd26a1aaa67c457)
![{\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110e72d1d1f584815b5e9ce7374ce42fd8af7d5f)
где
- единичный оператор.
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:
![{\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f245f46b24c874a17072b128e1a943035bed892)
Теперь рассмотрим среднее значение оператора
некоторой наблюдаемой величины:
![{\displaystyle \langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6647f20947977d33ac91cc1450b8b0d9f87462f)
Таким образом, оператор
в представлении Гейзенберга определяется формулой:
![{\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}).\qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00ef360b1005dc7155759a40869aa5fcbcc5307)
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то
![{\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2535c79ca3019cc08e1669099aebceb2bb72a7)
Продифференцируем формулу
по времени и используем уравнение
, тогда получим уравнение движения операторa
в Гейзенберговском представлении:
![{\displaystyle {d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}}_{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9836ab883c879f69eba660d2db20878462f04e29)
где частная производная обозначает явную зависимость оператора
от времени.
Пример. Квантовый гармонический осциллятор.
Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:
![{\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e9bfcad5158d9849cc520d89bfa89e7102db2b)
Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение
перепишется в виде
![{\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2,{\hat {a}}_{H}(t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9d3395618ae7f4c7e06f824ff37b178790ec2f)
![{\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat {a}}_{H}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d06abf7c363beb9d86592a04d207cf1f7a85f82)
![{\displaystyle {\hat {a}}_{H}(t)={\hat {a}}e^{-i\omega (t-t_{0})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6618cf86bae7230fa085f502a99fd13697b58b6)
![{\displaystyle {\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega (t-t_{0})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fadca9228c37dc3b5fc24ebba291f31a0e8c0c)
где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения
Применение
Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.
См. также
Литература
- Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
- Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307.
- Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155.
- Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4
Ссылки