Проективная геометрия

Есть три главных подхода к проективной геометрии: независимая аксиоматизация, дополнение евклидовой геометрии, и структура над полем.

Проективное пространство можно определить с помощью разного набора аксиом. Коксетер предоставляет следующие:

1. Существует прямая и точка не на ней.
2. На каждой прямой есть по крайней мере три точки.
3. Через две точки можно провести ровно одну прямую.
4. Если ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, и ${\displaystyle D}$ — различные точки и ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ пересекаются, то ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ пересекаются.
5. Если ${\displaystyle ABC}$ — плоскость, то существует по крайней мере одна точка не в плоскости ${\displaystyle ABC}$.
6. Две различные плоскости пересекаются по крайней мере в двух точках.
7. Три диагональные точки полного четырёхугольника не коллинеарны.
8. Если три точки на прямой ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к проективности ${\displaystyle \varphi }$, то все точки на ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к ${\displaystyle \varphi }$.

Проективная плоскость (без третьего измерения) определяется несколько другими аксиомами:

1. Через две точки можно провести ровно одну прямую.
2. Любые две прямые пересекаются.
3. Существует четыре точки, из которых нет трёх коллинеарных.
4. Три диагональные точки полных четырёхугольников не коллинеарны.
5. Если три точки на прямой ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к проективности ${\displaystyle \varphi }$, то все точки на ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к ${\displaystyle \varphi }$.
6. Теорема Дезарга: Если два треугольника перспективны сквозь точку, то они перспективны сквозь прямую.

При наличии третьего измерения, теорема Дезарга может быть доказана без введения идеальных точки и прямой.

Исторически, проективное пространство было впервые определено, как дополнение евклидова пространства идеальным элементом — бесконечно удалённой плоскостью. Каждая точка на этой плоскости соответствует направлению в пространстве и является местом пересечения всех прямых этого направления.

${\displaystyle n}$-мерное проективное пространство над полем ${\displaystyle F}$ определяется с помощью системы

${\displaystyle F}$

${\displaystyle (n+1)}$-векторов

${\displaystyle F}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cdot x=0}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cdot x=0}$

${\displaystyle X}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle z}$

${\displaystyle X\cdot x=X\cdot y=X\cdot z=0}$

${\displaystyle X}$

• Теорема Дезарга
• Теорема Брианшона
• Теорема Паппа
• Теорема Паскаля

• Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. M., 1957.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М., 1955.
• Вольберг А. О. Основные идеи проективной геометрии. М.-Л.:
  Учпедгиз
  , 1949.
• Глаголев Н. А. Проективная геометрия. М.-Л., 1936.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика, Глава IV. 2001
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М., 1970.
• Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969.
• Юнг Дж. В. Проективная геометрия. М.: ИЛ, 1949.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (31 августа 2011)