Простое число Вильсона

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона^[англ.]) — это простое число ${\displaystyle p}$, такое, что ${\displaystyle p^{2}}$ делит ${\displaystyle (p-1)!+1}$, где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle (p-1)!+1}$.

Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅10¹³.^[1]

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [x, y] около log(log(y)/log(x)).^[2]

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p — число Вильсона тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}}$.

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.^[3][4][5]

Проект распределённых вычислений Ibercivis^[англ.] включает поиск простых чисел Вильсона.^[6] Другой поиск координируется проектом mersenneforum.^[7]

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p²) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 10⁶ до 4⋅10¹¹:^[1]

Число Вильсона — это целое m, такое, что W(m) ≡ 0 (mod m), где W(m) означает дробь Вильсона

${\displaystyle W(m)={\frac {(m-1)!+1}{m}}}$

(последовательность A157250 в OEIS).

Если m — простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа ${\displaystyle 1}$ имеется 13 чисел Вильсона до 5⋅10⁸.^[8]

• Простое число Вифериха
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вольстенхольма
• PrimeGrid

• N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²) (англ.) // The Messenger of Mathematics^[англ.] : journal. — 1913–1914. — Vol. 43. — P. 72—84.
• Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime (англ.) //
  doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252
  .
• Paulo Ribenboim^[англ.]. The new book of prime number records (неопр.). — Springer-Verlag, 1996. — С. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
• Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes (англ.) //
  doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6
  .
• Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective (англ.). — Springer-Verlag, 2001. — P. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
• Erna H. Pearson. On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²) (англ.) // Math. Comput.^[англ.] : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 194—195.

• The Prime Glossary: Wilson prime (недоступная ссылка)
• Weisstein, Eric W. Wilson prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Status of the search for Wilson primes (англ.)
• Wilson Quotients for composite moduli (англ.)
• On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson (недоступная ссылка)