Простое число Вифериха
В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число , такое, что делит [1], что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое делит . Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом (Arthur Wieferich) в 1909 г. в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.[2][3]
С тех пор были обнаружены связи между простыми числами Вифериха и различными другими объектами математики, в том числе и другими типами простых чисел (числа
Несмотря на многочисленные попытки широкого поиска, известны только два простых числа Вифериха – это 1093 и 3511 (последовательность A001220 в OEIS).
Объяснение свойств простых чисел Вифериха
Усиленный вариант малой теоремой Ферма, которой удовлетворяют простые числа Вифериха, обычно выражается в виде сравнения по модулю . Из определения сравнения следует, что это свойство эквивалентно определению, данному в начале статьи. Таким образом, если простое p удовлетворяет сравнению, это простое делит частное Ферма .
Приведём два примера:
Для p = 11 мы получаем , что дает число 93, имеющее
Для p = 1093, мы получаем или 485439490310...852893958515 (302 цифры в середине опущены) и это число дает остаток 0 при делении на 1093, так что 1093 является простым числом Вифериха.
История и состояние поиска
В 1902-м году Майер (W. F. Meyer) доказал теорему о решении сравнения .[4]:930 Позже, в то же десятилетие, Артур Виферих показал, что если первый случай великой теоремы Ферма имеет решение для нечётной простой степени, то это простое должно удовлетворять сравнению для и . Другими словами, если существует решение в целых и – нечетное простое, не делящее (), то удовлетворяет . В 1913-м году
В 1913-м году Вальдемар Майснер (Waldemar Meissner) обнаружил, что простое число 1093 является простым Вифериха. Он же показал, что это единственное простое меньшее 2000. Он вычислил наименьший остаток для всех простых и обнаружил, что этот остаток равен нулю для и , тем самым нашел контрпример гипотезе Граве (Grawe) о невозможности сравнения Вифериха.[6]
Позднее Хентцшель (E. Haentzschel) потребовал перепроверки правильности вычислений Майснера с использованием только элементарных операций.[7]:664 Вдохновлённый ранней работой
В 1922-м году Н. Г. В. Х. Бегер (N. G. W. H. Beeger) обнаружил, что простое число 3511 является простым числом Вифериха[10]. Другое доказательство принадлежности 3511 к простым числам Вифериха было опубликовано в 1965-м Гаем (Richard K. Guy).[11] В 1960-м году Кравиц (Kravitz)[12] удвоил рекорд проверенных чисел, которое до этого установил Фрёберг (Fröberg)[13] В 1961-м году Ризель (Riesel) расширил поиск до 500000 с помощью BESK[14]. Около 1980-го Лемер (Lehmer) смог достичь предела 6⋅109[15]. Этот предел поиска был сдвинут к 2.5⋅1015 в 2006-м,[16] а затем и 3⋅1015. Сейчас известно, что если существуют какие-либо другие простые числа Вифериха, они должны быть не меньше 6.7⋅1015[17]. Поиск новых простых чисел Вифериха в настоящее время осуществляется в проекте распределённых вычислений Wieferich@Home. В декабре 2011 года стартовал еще один проект – PrimeGrid[18]. К октябрю 2014 года достиг предела поиска 3⋅1017, и поиск продолжается[19].
Крис Колдуэлл (Chris Caldwell) предположил, что существует конечное число простых чисел Вифериха[1]. Было высказана также противоположная гипотеза, что (как и для
Свойства
Связь с великой теоремой Ферма
Следующая теорема, доказанная Виферихом в 1909-м, связывает простые числа Вифериха и великую теорему Ферма:[21]
Пусть – простое, и пусть – целые числа, такие, что . Предположим далее, что не делит произведение . Тогда – простое число Вифериха.
Условие «где не делит любое из или » известно как первый случай великой теоремы Ферма (FLTI)[22][23]. FLTI неверна для простого , если решение уравнения Ферма существует для , в противном случае FLTI для выполняется[24]. В 1910-м году Мириманов расширил[25] теорему, показав, что, если условия теоремы выполняются для некоторого простого , то должно также делить . Позднее Гранвиль (Granville) и Монаган (Monagan) доказали, что должно делить для любого простого .[26] Судзуки (Suzuki) распространил доказательство на все простые .[27]
Пусть – множество пар целых и их наибольший общий делитель равен 1.
Пусть , является расширением поля, получаемого включением всех многочленов от алгебраического числа в поле рациональных числ (такое расширение известно как числовое поле или, в данном случае, где ξ — корни из единицы, круговым числовым полем).[26]:332
Пусть – множество пар , удовлетворяющих свойствам:
- i НОД
- ii — взаимно просто с и
- iii
- iv – -ая степень идеала .
Из единственности факторизации идеалов в следует, что если являются решением (первого случая) великой теоремы Ферма, то делит , а и являются элементами .[26]:333 Гранвиль (Granville) и Монаган (Monagan) показали, что тогда и только тогда, когда является простым числом Вифериха.[26]:333
Связь с abc-гипотезой и простыми числами не-Вифериха
Простое число не-Вифериха – это простое , удовлетворяющее условию . Д.Х. Силвермен (Joseph H. Silverman) в 1988-м году показал, что если abc-гипотеза верна, то существует бесконечно много простых не-Вифериха.[28]
Говоря точнее, он показал, что из верности abc-гипотезы следует, что количество простых не-Вифериха для больше для некоторой константы .[29]:227
Множество простых чисел Вифериха и множество простых не-Вифериха, иногда обозначаемые как и соответственно,[30] являются дополнительными множествами, так что конечность одного из них влечет бесконечность другого (поскольку вместе они дают множество простых чисел). Было показано, что существование бесконечного количества чисел не-Вифериха следует из ослабленной версии abc-гипотезы, называемой ABC-(k, ε) гипотезой[31].
Вдобавок существование бесконечного количества чисел не-Вифериха вытекает также из существования бесконечного количества свободных от квадратов чисел Мерсенна[32].
Это же вытекает из существования вещественного , такого, что множество имеет плотность 1. Здесь индекс сложности для целого определяется как и , где — произведение всех простых множителй n.[30]:4
Связь с простыми числами Мерсенна и Ферма
Известно, что -ое число Мерсенна является простым, только если – простое. Из малой теоремы Ферма следует, что, если является простым, делится на . Поскольку числа Мерсенна с простыми индексами и взаимно просты, простой делитель числа , где – простое, является простым числом Вифериха тогда и только тогда, когда делит .[33]
Таким образом, простое число Мерсенна не может быть также простым Вифериха.
Интересная проблема остается
Подобным образом, если – простое, и делит число Ферма , то должно быть простым числом Вифериха[35].
Для простых 1093 и 3511 было показано, что ни одно из них не является делителем какого-либо числа Мерсенна или Ферма[36].
Связь с другими равенствами
Скотт (Scott) и Стайер (Styer) показали, что равенство имеет максимум одно решение в положительных целых , если при или , где означает
Они также показали, что решения уравнения должны принадлежать определенному множеству, но утверждение перестает быть верным, если – простое число Вифериха, большее .[38]:258
Бинарная периодичность p−1
Джонсон (Johnson) заметил[39], что два известных простых числа Вифериха на единицу больше чисел с периодическим двоичным представлением (). Проект Wieferich@Home ищет простые числа Вифериха путём проверки чисел, на единицу больших чисел с периодическим двоичным представлением, но среди чисел длиной до 3500 бит и периодом до 24 бит не было найдено ни одного нового простого числа Вифериха[40].
Эквивалентные сравнения
Простые числа Вифериха могут быть определены другим сравнением, эквивалентным тому, которое обычно используют.
Если простое число Вифериха, можно умножить обе части сравнения на 2 и получим . Возведя обе части сравнения в степень , получим , откуда для всех .
Обратное тоже верно: Из для всех следует, что
Бояи показал, что если и просты, – положительное целое, не делящееся на и , такое, что , то . Полагая , получим .[41]:284 А в силу теоремы Эйлера равносильно .[41]:285-286
Связь с псевдопростыми числами
Было замечено, что оба известных простых числа Вифериха делят все несвободные от квадратов по базе 2 псевдопростые числа до .[42] Более поздние вычисления показали, что повторяющимися множителями псевдопростых чисел до являются только 1093 и 3511.[43]
Существует следующая связь: Пусть — псевдопростое по базису 2 и — простой делитель . Если , то .[24]:378
Далее, если — простое число Вифериха, то псевдопростое Каталана (Catalan)[44].
Связь с ориентированными графами
Для всех простых до 100000 только в двух случаях: и , где – модуль диаграммы удваивания и дает число вершин в цикле, образованном единицей. Термин диаграмма удваивания относится к ориентированному графу с 0 и натуральными числами, меньшими в качестве вершин и дугами, идущими из вершины в вершину по модулю .[45]:74 Было установлено, что для всех нечетных простых чисел либо , либо .[45]:75
Свойства, связанные с числовыми полями
Было установлено, что и тогда и только тогда, когда , где – нечетное простое и — фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля .
Также было показано следующее:
Пусть – простое число Вифериха. Если , пусть — фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля
Если , пусть — фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля .
Тогда и ( и в этом контексте означают инвариант Ивасава (Iwasawa)).[46]:27
Также было установлено:
Пусть – нечетное простое число, и – простые, такие, что и порядок по модулю равен .
Предположим, что делит — число классов вещественного кругового поля , полученного добавлением к полю рациональных чисел суммы -го
Тогда – простое число Вифериха.[47]:55
Это остается верным, если условия заменить на
Утверждение остается верным и при замене условия на (в этом случае будет простым числом Фибоначи-Вифериха), а неравенство заменится на .[48]:376
Периоды простых чисел Вифериха
Пусть период числа по базису – период дроби по базису . Например, период числа 3 по базису 10 равен 1, что обычно записывается как 0,(3), в то время как период числа 3 по базису 2 равен 2 и число можно записать как 0,(01). В общем случае, период числа является
Порядок числа 2 по модулю степеней простых чисел Вифериха
Только простые 1093 и 3511 среди чисел до удовлетворяют и известно, что и .[50][51]
Х. С. Вандивер (H. S. Vandiver) показал, что тогда и только тогда, когда .[52]:187
Обобщения
Почти простые числа Вифериха
Простое , удовлетворяющее сравнению с малым , обычно называются почти простым числа Вифериха (последовательность A195988 в OEIS).[20][53] Почти простые числа Вифериха с представляют собой простые числа Вифериха.
Проекты распределенных вычислений с недавнего времени в дополнение к основному поиску простых чисел Вифериха пытались обнаружить и почти простые числа Вифериха.[17][54]
Следующая таблица представляет все почти простые числа Вифериха с в интервале .[55] Этот интервал был достигнут поиском, организованным Карлайлом (P. Carlisle), Крэндаллом (R. Crandall) и Роденкирхом (M. Rodenkirch).[16][56]
p | 1 или −1 | A |
---|---|---|
3520624567 | +1 | −6 |
46262476201 | +1 | +5 |
47004625957 | −1 | +1 |
58481216789 | −1 | +5 |
76843523891 | −1 | +1 |
1180032105761 | +1 | −6 |
12456646902457 | +1 | +2 |
134257821895921 | +1 | +10 |
339258218134349 | −1 | +2 |
2276306935816523 | −1 | −3 |
Доре (Dorais) и Клайв (Klyve)[17] использовали другое определение почти простых чисел Вифериха, а именно, как простое p с малым значением , где — частное Ферма для числа 2 по модулю p'.
Следующая таблица показывает все простые с .
p | ||
---|---|---|
1093 | 0 | 0 |
3511 | 0 | 0 |
2276306935816523 | +6 | 0.264 |
3167939147662997 | −17 | 0.537 |
3723113065138349 | −36 | 0.967 |
5131427559624857 | −36 | 0.702 |
5294488110626977 | −31 | 0.586 |
6517506365514181 | +58 | 0.890 |
Простые числа Вифериха по базе a
Простым числом Вифериха по базе a называется простое p, удовлетворяющее сравнению
- .[4]
Такие простые не могут делить a, поскольку тогда они должны делить и 1.
Пары Вифериха
Таким образом, простое число Вифериха образует пару . Единственное известное число для этого случая – это . Известно 6 пар Вифериха.[57]
Числа Вифериха
Числом Вифериха называется нечетное целое , удовлетворяющее сравнению , где означает функцию Эйлера. Если число Вифериха является простым, то оно также является простым числом Вифериха.
Несколько первых чисел Вифериха:
- 1093, 3279, 3511, 7651, 10 533, 14 209, 17 555, 22 953, 31 599, 42 627, 45 643, … последовательность A077816 в OEIS
Можно показать, что если имеется только конечное число простых чисел Вифериха, то и количество чисел Вифериха конечно. В частности, если простые числа Вифериха только 1093 и 3511, то существует точно 104 чисел Вифериха, и они соответствуют тем числам, которые известны на данный момент.[58]
Обобщая, целое является числом Вифериха по базе , если .[59]:31
По другому определению числом Вифериха называется положительное нечетное q, такое, что q и не
Как и выше, если число Вифериха q является простым, то оно является простым числом Вифериха.
Простые числа Люка-Вифериха
Простым числом Люка-Вифериха, соответствующим паре целых называется простое , такое, что , где означает последовательность Люка первого вида и – это значение символа Лежандра по модулю . Все простые числа Вифериха являются простыми числами Люка-Вифериха, соответствующими паре .[61] :2088
Точки Вифериха
Пусть – глобальное поле, т.е. числовое поле или поле функций одной переменной над конечным полем и пусть – эллиптическая кривая. Если – это неархимедова точка нормы и , где , то . называется точкой Вифериха по базе , если , эллиптической точкой Вифериха по базе , если , и сильной эллиптической точкой Вифериха по базе , если , где – порядок по модулю и дает количество рациональных точек (над полем вычетов ) редукции на .[62]:206
Замечания
- Простое число Вольстенхольма – ещё один тип простых чисел, возникший при изучении великой теоремы Ферма
- Таблица сравнений – список других сравнений, которым удовлетворяют простые числа
Ссылки
- ↑ 1 2 The Prime Glossary: Wieferich prime Архивная копия от 23 апреля 2013 на Wayback Machine
- ↑ Israel Kleiner (2000), "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem" (PDF), Elem. Math., 55: 21, doi:10.1007/PL00000079. Архивная копия от 19 февраля 2012 на Wayback Machine
- ↑ Leonhard Euler (1736), "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio" (PDF), Novi Comm. Acad. Sci. Petropol. (лат.), 8: 33—37. Архивная копия от 15 сентября 2012 на Wayback Machine
- ↑ 1 2 Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), "Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1 (mod pr)" (PDF), Math. Comp., 74 (250): 927—936, doi:10.1090/S0025-5718-04-01666-7.
{{citation}}
: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка) Архивная копия от 22 октября 2012 на Wayback Machine - ↑ Bachmann, P. Über den Rest von (нем.) // Journal für Mathematik. — 1913. — Т. 142, № 1. — С. 41—50.
- ↑ 1 2 Meissner, W. (1913), "Über die Teilbarkeit von 2p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093", Sitzungsber. D. Königl. Preuss. Akad. D. Wiss. (нем.), Zweiter Halbband. Juli bis Dezember, Berlin: 663—667
- ↑ Haentzschel, E. (1926), "Über die Kongruenz 21092 ≡ 1 (mod 10932)", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (нем.), 34: 284
- ↑ Haentzschel, E. (1925), "Über die Kongruenz 21092 ≡ 1 (mod 10932)", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (нем.), 34: 184
- ↑ Ribenboim, P. (1983), "1093", The Mathematical Intelligencer, 5 (2): 28—34, doi:10.1007/BF03023623
- ↑ Beeger, N. G. W. H. (1922), "On a new case of the congruence 2p − 1 ≡ 1 (mod p2)", Messenger of Mathematics, 51: 149—150
- ↑ Guy, R. K. (1965), "A property of the prime 3511", The Mathematical Gazette, 49 (367): 78—79 Архивная копия от 19 ноября 2015 на Wayback Machine
- 7 октября 2013 года.
- 7 октября 2013 года.
- 7 октября 2013 года.
- 24 октября 2012 года.
- ↑
- ↑ 1 2 3 Dorais, F. G.; Klyve, D. A Wieferich Prime Search Up to 6.7⋅1015 (англ.) // Journal of Integer Sequences : journal. — 2011. — Vol. 14, no. 9. Архивировано 29 августа 2012 года.
- ↑ PrimeGrid Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches Архивная копия от 14 марта 2013 на Wayback Machine
- ↑ PrimeGrid Wieferich prime search server statistics Архивная копия от 6 апреля 2014 на Wayback Machine
- ↑ 1 2 Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomerance, Carl (1997), "A search for Wieferich and Wilson primes" (PDF), Math. Comput., 66 (217): 433—449, doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
- ↑ Wieferich, A. (1909), "Zum letzten Fermat'schen Theorem", Journal für die reine und angewandte Mathematik (нем.), 136 (136): 293—302, doi:10.1515/crll.1909.136.293.
- ↑ 1 2 Dilcher, K.; Skula, L. (1995), "A new criterion for the first case of Fermat's last theorem" (PDF), Math. Comp., 64 (209), AMS: 363—392, JSTOR 2153341 Архивная копия от 29 июля 2014 на Wayback Machine
- ↑ Mirimanoff, D. (1910), "Sur le dernier théorème de Fermat", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (фр.), 150: 293—206.
- ↑ 1 2 3 4 Granville, A.; Monagan, M. B. (1988), "The First Case of Fermat's Last Theorem is true for all prime exponents up to 714,591,416,091,389", Transactions of the American Mathematical Society, 306 (1): 329—359, doi:10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5.
- ↑ Suzuki, Jiro (1994), "On the generalized Wieferich criteria", Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 70: 230—234 Архивная копия от 18 августа 2017 на Wayback Machine
- ↑ Charles, D. X. On Wieferich primes Архивная копия от 18 марта 2012 на Wayback Machine
- ↑ Silverman, J. H. (1988), "Wieferich's criterion and the abc-conjecture", Journal of Number Theory, 30 (2): 226—237, doi:10.1016/0022-314X(88)90019-4
- ↑ 1 2 DeKoninck, J.-M.; Doyon, N. (2007), "On the set of Wieferich primes and of its complement" (PDF), Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., 27: 3—13 Архивная копия от 26 апреля 2012 на Wayback Machine
- ↑ Broughan, K. (2006), "Relaxations of the ABC Conjecture using integer k 'th roots" (PDF), New Zealand J. Math., 35 (2): 121—136 Архивная копия от 18 июня 2013 на Wayback Machine
- ↑ Ribenboim, P.[англ.]. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (неопр.). — New York: Springer, 1979. — С. 154. — ISBN 0-387-90432-8.
- ↑ Mersenne Primes: Conjectures and Unsolved Problems Архивная копия от 13 марта 2019 на Wayback Machine
- ↑ Rotkiewicz, A. Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n2∣2n-2 (фр.) // Mat. Vesnik. — 1965. — Т. 2, № 17. — С. 78—80. Архивировано 2 декабря 2013 года.
- ISBN 0-387-97508-X
- ↑ Bray, H. G.; Warren, L. J. (1967), "On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers", Pacific J. Math., 22 (3): 563—564, MR 0220666, Zbl 0149.28204 Архивная копия от 2 сентября 2016 на Wayback Machine
- .
- . (недоступная ссылка)
- ↑ Wells Johnson (1977), "On the nonvanishing of Fermat quotients (mod p)", J. Reine angew. Math., 292: 196—200
- ↑ Dobeš, Jan; Kureš, Miroslav (2010), "Search for Wieferich primes through the use of periodic binary strings" (PDF), Serdica Journal of Computing, 4: 293—300, Zbl 05896729.
{{citation}}
: Википедия:Обслуживание CS1 (Zbl) (ссылка) Архивная копия от 16 апреля 2014 на Wayback Machine - ↑ 1 2 Kiss, E.; Sándor, J. On a congruence by János Bolyai, connected with pseudoprimes (англ.) // Mathematica Pannonica : journal. — 2004. — Vol. 15, no. 2. — P. 283—288. Архивировано 7 октября 2013 года.
- )
- . (недоступная ссылка)
- 1 апреля 2011 года.
- ↑ 1 2 Ehrlich, A. (1994), "Cycles in Doubling Diagrams mod m" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 32 (1): 74—78. Архивная копия от 30 апреля 2012 на Wayback Machine
- ↑ Byeon, D. (2006), "Class numbers, Iwasawa invariants and modular forms" (PDF), Trends in Mathematics, 9 (1): 25—29 Архивная копия от 26 апреля 2012 на Wayback Machine
- ↑ Jakubec, S. (1995), "Connection between the Wieferich congruence and divisibility of h+" (PDF), Acta Arithmetica, 71 (1): 55—64 Архивная копия от 10 августа 2014 на Wayback Machine
- ↑ Jakubec, S. (1998), "On divisibility of the class number h+ of the real cyclotomic fields of prime degree l" (PDF), Mathematics of Computation, 67 (221): 369—398 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
- ↑ Young, J. (2004), "Wieferich Primes and Period Lengths for the Expansions of Fractions", Math. Mag., 77 (4): 314—319, doi:10.2307/3219294
- 14 июня 2010 года.
- ↑ Stevens, W. H. (19 June 1995), Periodicity for the Z/pr-homology of cyclic covers of knots and Z-homology circles (PDF), Дата обращения: 29 сентября 2012 Архивная копия от 24 апреля 2012 на Wayback Machine
- ↑ Dickson, L. E. (1917), "Fermat's Last Theorem and the Origin and Nature of the Theory of Algebraic Numbers", Annals of Mathematics, 18 (4): 161—187
- ↑ Joshua Knauer; Jörg Richstein (2005), "The continuing search for Wieferich primes" (PDF), Math. Comp., 74 (251): 1559—1563, doi:10.1090/S0025-5718-05-01723-0.
{{citation}}
: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка) Архивная копия от 22 октября 2012 на Wayback Machine - ↑ About project Wieferich@Home . Дата обращения: 25 января 2013. Архивировано из оригинала 22 марта 2012 года.
- ↑ PrimeGrid, Wieferich & near Wieferich primes p < 11e15 Архивная копия от 18 октября 2012 на Wayback Machine
- ISBN 978-0-387-98911-2
- ↑ Weisstein, Eric W. .html Double Wieferich Prime Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Banks, W. D.; Luca, F.; Shparlinski, I. E. (2007), "Estimates for Wieferich numbers" (PDF), The Ramanujan Journal, 14 (3), Springer: 361—378, doi:10.1007/s11139-007-9030-z Архивная копия от 3 мая 2013 на Wayback Machine
- ↑ Agoh, T.; Dilcher, K.; Skula, L. (1997), "Fermat Quotients for Composite Moduli", Journal of Number Theory, 66 (1): 29—50, doi:10.1006/jnth.1997.2162
- ↑ Müller, H. {{{заглавие}}} (нем.) // Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg. — Mathematische Gesellschaft in Hamburg, 2009. — Т. 28. — С. 121—130.
- AMS: 2087—2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2, Архивировано 10 декабря 2010 Архивная копия от 4 октября 2013 на Wayback Machine
- ↑ Voloch, J. F. (2000), "Elliptic Wieferich Primes", Journal of Number Theory, 81: 205—209, doi:10.1006/jnth.1999.2471
Дальнейшее чтение
- Haussner, R. (1926), "Über die Kongruenzen 2p-1-1 ≡ 0 (mod p2) für die Primzahlen p=1093 und 3511", Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (нем.), 39 (5): 7,
- Haussner, R. (1927), "Über numerische Lösungen der Kongruenz up-1-1 ≡ 0 (mod p2)", Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal). (нем.), 1927 (156): 223—226, doi:10.1515/crll.1927.156.223
- ISBN 0-387-90432-8
- ISBN 0-387-20860-7
- Crandall, R. E.; Pomerance, C. (2005), Prime numbers: a computational perspective (PDF), Springer Science+Business Media, Inc., pp. 31—32, ISBN 0-387-25282-7
- Ribenboim, P. (1996), The new book of prime number records, Springer-Verlag New York, Inc., pp. 333—346, ISBN 0-387-94457-5
Внешние ссылки
- Weisstein, Eric W. Wieferich prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Fermat-/Euler-quotients (ap−1 − 1)/pk with arbitrary k
- A note on the two known Wieferich primes
- PrimeGrid's Wieferich Prime Search project page
- Януш Г.Дж., Алгебраические числовые поля. Новосибирск, Научная книга. (Университетская серия, том 6)
Для улучшения этой статьи желательно:
|