Псевдовыпуклая функция

Псевдовыпуклая функция — это функция, которая ведёт себя подобно выпуклой функции с точки зрения нахождения её локального минимума, но не обязательно выпукла. Неформально, дифференцируемая функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где имеет положительную производную по направлению.

Вещественнозначная функция ƒ, определённая на (непустом) выпуклом открытом множестве X в конечномерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, называется псевдовыпуклой, если для всех x, y ∈ X, таких что ${\displaystyle \nabla f(x)\cdot (y-x)\geqslant 0}$, мы имеем ${\displaystyle f(y)\geqslant f(x)}$^[1]. Здесь ${\displaystyle \nabla f}$ является градиентом ƒ, определённым формулой

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$

Любая выпуклая функция псевдовыпукла, но обратное неверно. Например, функция ${\displaystyle f(x)=x+x^{3}}$ псевдовыпукла, но не выпукла. Любая псевдовыпуклая функция квазивыпукла, но обратное не верно, поскольку функция ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

${\displaystyle \nabla f(x^{*})=0.}$[1].

Понятие псевдовыпуклости может быть обобщено на недифференцируемые функции следующим образом^[2]. Если дана функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$, то можно определить её верхнюю производную Дини как

${\displaystyle f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}}$

где u является любым единичным вектором. Говорят, что функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где верхняя производная Дини положительна. Более точно, её можно описать в терминах субдифференциала ${\displaystyle \partial f}$ следующим образом:

• Для всех ${\displaystyle x,y\in X}$, если существует ${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}$, такая что ${\displaystyle \langle x^{*},y-x\rangle \geqslant 0\,,}$ то ${\displaystyle f(x)\leqslant f(z)}$ для всех z на отрезке, соединяющем x и y.

Псевдовогнутая функция — это функция, отрицательная для которой псевдовыпукла. Псевдолинейная функция — это функция, которая одновременно псевдовыпукла и псевдовогнута^[3]. Например, задачи дробно-линейного программирования имеют псевдолинейные целевые функции и линейные ограничения-неравенства. Эти свойства позволяют решать задачи дробного программирования вариантом симплекс-метода (Джорджа Б. Данцига)^[4][5][6].

• Псевдовыпуклость^[англ.]

Для улучшения этой статьи желательно: Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.