Разбиение множества
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 февраля 2020 года; проверки требуют 10 правок.
Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде
объединения произвольного количества попарно непересекающихся непустых подмножеств
.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Set_partition.svg/220px-Set_partition.svg.png)
Определение
Пусть — произвольное множество. Семейство непустых множеств , где — некоторое
множество индексов (конечное или бесконечное
), называется разбиением , если:
- для любых , таких что ;
- .
При этом множества называются блоками или частями разбиения данного множества .
Разбиения конечных множеств
Разбиения конечных множеств, а также подсчёт количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.
Например,
числом Белла
.
Примеры
- , где — множества всех целых чисел, чётных целых чисел и нечётных целых чисел соответственно;
- Множество всех вещественных чисел может быть представлено в виде: ;
- Множество из трёх элементов может быть разбито пятью способами: , , , , — значит, число Белла .