Граф Кэли
симметрической группы S4
Таблица Кэли симметрической группы S3 (таблица умножения матриц перестановок ) Имеются следующие позиции шести матриц: Таблица несимметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.
Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества
X
{\displaystyle X}
(то есть биекций
X
→
X
{\displaystyle X\to X}
) относительно операции композиции .
Симметрическая группа множества
X
{\displaystyle X}
обычно обозначается
S
(
X
)
{\displaystyle S(X)}
. Если
X
=
{
1
,
2
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle X=\{1,2,...,n\}}
, то
S
(
X
)
{\displaystyle S(X)}
также обозначается через
S
n
{\displaystyle S_{n}}
. Поскольку для равномощных множеств (
|
X
|
=
|
Y
|
{\displaystyle |X|=|Y|}
)
изоморфны
и их группы перестановок (
S
(
X
)
≅
S
(
Y
)
{\displaystyle S(X)\cong S(Y)}
), то для конечной группы
порядка
n
{\displaystyle n}
группу её перестановок отождествляют с
S
n
{\displaystyle S_{n}}
.
Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка
i
d
(
x
)
=
x
{\displaystyle \mathrm {id} (x)=x}
.
Группы перестановок
Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества
X
{\displaystyle X}
называют подгруппы симметрической группы
S
(
X
)
{\displaystyle S(X)}
[1] . Степенью группы в таком случае называется мощность
X
{\displaystyle X}
.
Каждая конечная группа
G
{\displaystyle G}
изоморфна
некоторой подгруппе группы
S
(
G
)
{\displaystyle S(G)}
(
теорема Кэли ).
Свойства
Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности:
|
S
n
|
=
n
!
{\displaystyle |S_{n}|=n!}
. При
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
симметрическая группа
S
n
{\displaystyle S_{n}}
некоммутативна.
Симметрическая группа
S
n
{\displaystyle S_{n}}
допускает следующее задание :
⟨
σ
1
,
σ
2
,
…
,
σ
n
−
1
|
σ
i
2
,
(
σ
i
σ
i
+
1
)
3
,
σ
i
σ
j
=
σ
j
σ
i
if
|
i
−
j
|
>
1
⟩
{\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ |i-j|>1\rangle }
.
Можно считать, что
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
переставляет
i
{\displaystyle i}
и
i
+
1
{\displaystyle i+1}
. Максимальный
порядок элементов
группы
S
n
{\displaystyle S_{n}}
—
функция Ландау .
Группы
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
{\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}
разрешимы , при
n
⩾
5
{\displaystyle n\geqslant 5}
симметрическая группа
S
n
{\displaystyle S_{n}}
является неразрешимой .
Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера ). В случае
n
=
6
{\displaystyle n=6}
группа
S
6
{\displaystyle S_{6}}
имеет ещё один внешний автоморфизм [англ.] . В силу этого и предыдущего свойства при
n
⩾
3
,
n
≠
6
{\displaystyle n\geqslant 3,n\neq 6}
все автоморфизмы
S
n
{\displaystyle S_{n}}
являются внутренними, то есть каждый автоморфизм
α
(
x
)
{\displaystyle \alpha (x)}
имеет вид
g
−
1
x
g
{\displaystyle g^{-1}xg}
для некоторого
g
∈
S
n
{\displaystyle g\in S_{n}}
.
Число классов
сопряжённых элементов
симметрической группы
S
n
{\displaystyle S_{n}}
равно
числу разбиений числа
n
{\displaystyle n}
[2] . Множество транспозиций
(
12
)
,
(
23
)
,
.
.
.
,
(
n
−
1
n
)
{\displaystyle (12),(23),...,(n-1\ n)}
является порождающим множеством
S
n
{\displaystyle S_{n}}
. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками
(
12
)
,
(
12...
n
)
{\displaystyle (12),(12...n)}
, так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
Центр симметрической группы тривиален при
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
. Коммутантом
S
n
{\displaystyle S_{n}}
является знакопеременная группа
A
n
{\displaystyle A_{n}}
; причём при
n
≠
4
{\displaystyle n\neq 4}
A
n
{\displaystyle A_{n}}
— единственная нетривиальная нормальная подгруппа
S
n
{\displaystyle S_{n}}
, а
S
4
{\displaystyle S_{4}}
имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна .
Представления
Любая подгруппа
G
{\displaystyle G}
группы перестановок
S
n
{\displaystyle S_{n}}
представима группой матриц из
S
L
(
n
,
Z
)
{\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}
, при этом каждой перестановке
π
:
i
→
π
(
i
)
{\displaystyle \pi :i\to \pi (i)}
соответствует
перестановочная матрица
(матрица, у которой все элементы в ячейках
(
i
,
π
(
i
)
)
{\displaystyle (i,\pi (i))}
равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка
(
231
)
{\displaystyle (231)}
представляется следующей матрицей
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
:
(
0
1
0
0
0
1
1
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}}
Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем , равным 1, изоморфна знакопеременной группе
A
n
{\displaystyle A_{n}}
.
Существуют и другие представления симметрических групп, например,
додекаэдра
изоморфна
S
5
{\displaystyle S_{5}}
, а
группа вращений куба изоморфна
S
4
{\displaystyle S_{4}}
.
См. также
Примечания
Литература
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М. : Факториал-Пресс, 2001.
Каргаполов М. И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М. : Наука, Физматлит, 1982.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — М. издательство=Физматлит, 2004.
Курош А. Г. Теория групп. — М. : Наука, Физматлит, 1967.
Постников М. М. Теория Галуа. — М. : Физматлит, 1963.