Представление группы
Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это
Представления групп позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры. Представления групп также имеют приложения в теоретической физике, так как позволяют понять, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.
Определение
Пусть — заданная группа и — векторное пространство. Тогда представление группы — это отображение , ставящее в соответствие каждому элементу невырожденное линейное преобразование , причём выполняются свойства
Векторное пространство называется в этом случае пространством представления . Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры, зачастую допускающим решение вычислительного характера. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы и знакопеременной группы играют большую роль при доказательстве
Связанные определения
- Пусть есть представление группы , здесь — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства . Размерностью представления называется размерность векторного пространства
- Представления и одной и той же группы называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм векторных пространств, что Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
- Представление называется прямой суммой представлений если (здесь знак означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого подпространство инвариантно относительно преобразования и индуцированное ограничением на представление эквивалентно
- Для данного представления отображение называется характером ; здесь обозначает след.
Типы представлений
- Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
- Представление группы называется приводимым, если в векторном пространстве есть подпространство, отличное от нулевого и самого , инвариантное для всех преобразований . В противном случае представление называется неприводимым, или простым (при этом представление на пространстве не считается неприводимым). характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
- Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
- Представление называется регулярным, если — пространство функций на группе и линейное преобразование ставит в соответствие каждой функции функцию . Иными словами, регулярным называется естественное представление на групповом кольце группы.
- Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве над полем , если все преобразования являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве (над полем ) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве произвольное эрмитово скалярное произведение и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой
- Если ― топологическая группа, то под представлением группы обычно понимается непрерывное линейное представление группы в топологическом векторном пространстве . Это значит, что непрерывно отображение из в , заданное как [1].
Примеры
- Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
- Представление симметрической группы может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве размерности базис . Для каждой перестановки определим линейное преобразование переводящее базисный вектор в базисный вектор где Таким образом получается -мерное представление группы
- Неприводимое двумерное представление группы можно получить, выбрав в плоскости базис положив вектор и определив для каждой перестановки линейное преобразование , переводящее в и в
- Присоединённое представление — представление группы Ли, действующее на соответствующей алгебре Ли.
- Коприсоединённое представление — представление, сопряжённое[англ.] к присоединённому.
Вариации и обобщения
В более широком смысле под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества . Например:
- Проективное представление группы — гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.
Ссылки
Примечания
- ↑ А. И. Штерн. Непрерывное представление // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
Литература
- Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп // УМН. — 1956. Т. 11. — Вып. 6 (72). — С. 13–40.
- Винберг Э. Б. Линейные представления групп. — М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
- Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.
- Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1970.
- Шейнман О. К. Основы теории представлений. — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
- Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — 2-е изд. — М.: Наука, 1978.