Статистика (функция выборки)

Статистика — измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения элементов выборки.

Пусть задана случайная выборка ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ наблюдений ${\displaystyle x_{i}\in X}$. Как правило, поскольку речь идёт о задачах математической статистики, распределение элементов этой выборки известно исследователю не полностью (например, содержит неизвестные числовые параметры).

Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки ${\displaystyle T:X^{m}\to \mathbb {R} }$, которая не зависит от неизвестных параметров распределения.

Условие измеримости статистики означает, что эта функция является

на прямой.

Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, то есть исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно — основывать на этом значении

и прочие статистические выводы.

Предположим, что имеется числовая выборка ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$, элементы которой имеют нормальное распределение ${\displaystyle {\mathcal {N}}(a,\sigma )}$. Допустим, что значение параметра ${\displaystyle a}$ (математического ожидания) известно, то есть это некоторое конкретное число, а значение среднеквадратичного отклонения ${\displaystyle \sigma }$ неизвестно (и его требуется оценить). Для этого может быть использована следующая статистика:

${\displaystyle T={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}(x_{i}-a)^{2}.}$

Однако если значение параметра ${\displaystyle a}$ также неизвестно, то данная функция не является статистикой. В этом случае её по-прежнему можно исследовать теоретически (например, доказывать, что математическое ожидание ${\displaystyle T}$ равно ${\displaystyle \sigma ^{2}}$), однако вычислить её числовое значение нельзя, поэтому для получения непосредственных статистических выводов она не может быть использована. В этом случае оценка параметра ${\displaystyle \sigma }$ строится другим способом (см. ниже).

Ниже приведены примеры некоторых часто используемых статистик. Все они предполагают, что наблюдения ${\displaystyle x_{i}}$ являются числовыми, ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$.

В последние годы активно развивается также статистика объектов нечисловой природы.

• Выборочное среднее:

  ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}.}$

• Выборочная дисперсия:

  ${\displaystyle s^{2}=s_{m}^{2}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}$.

• Несмещённая оценка дисперсии:

  ${\displaystyle s^{2}=s_{m}^{2}={\frac {1}{m-1}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.}$

• Выборочный момент ${\displaystyle k}$-го порядка (выборочное среднее — момент первого порядка):

  ${\displaystyle M_{k}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}}$.

• Выборочный центральный момент ${\displaystyle k}$-го порядка (выборочная дисперсия — центральный момент второго порядка):

  ${\displaystyle {\overset {\circ }{M}}_{k}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{k}}$.

• Несмещённые оценки центральных моментов:

  ${\displaystyle {\overset {\bullet }{M}}_{2}={\frac {m}{m-1}}{\overset {\circ }{M}}_{2}}$;

  ${\displaystyle {\overset {\bullet }{M}}_{3}={\frac {m^{2}}{(m-1)(m-2)}}{\overset {\circ }{M}}_{3}}$;

  ${\displaystyle {\overset {\bullet }{M}}_{4}={\frac {m(m^{2}-2m+3){\overset {\circ }{M}}_{4}+3m(2m-3){\overset {\circ }{M}}_{2}^{2}}{(m-1)(m-2)(m-3)}}}$.

Выборочный коэффициент асимметрии:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {{\overset {\bullet }{M}}_{3}}{{\overset {\bullet }{M}}_{2}^{3/2}}}={\frac {\sqrt {m(m-1)}}{m-2}}\left({\frac {{\overset {\circ }{M}}_{3}}{{\overset {\circ }{M}}_{2}^{3/2}}}\right)}$.

Если плотность распределения симметрична, то ${\displaystyle \gamma _{1}=0}$. Если левый хвост распределения «тяжелее», то ${\displaystyle \gamma _{1}>0}$, если «тяжелее» правый хвост — то ${\displaystyle \gamma _{1}<0}$.

Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Выборочный коэффициент эксцесса:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {{\overset {\bullet }{M}}_{4}}{{\overset {\bullet }{M}}_{2}^{2}}}-3={\frac {m^{2}-1}{(m-2)(m-3)}}\left({\frac {{\overset {\circ }{M}}_{4}}{{\overset {\circ }{M}}_{2}^{2}}}-3+{\frac {6}{m+1}}\right)}$.

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс: ${\displaystyle \gamma _{2}=0}$.

Если хвосты распределения «легче», а пик «острее», чем у нормального распределения, то ${\displaystyle \gamma _{2}>0}$.

Если хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения, то ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$.

Выборочный коэффициент эксцесса часто используется для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

случайной величины ${\displaystyle x}$, построенное по случайной выборке ${\displaystyle x^{m}}$, есть функция:

${\displaystyle \displaystyle F_{m}(x)={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left[x_{i}<x\right]}$.

При любом фиксированном ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ значение ${\displaystyle F_{m}(a)}$ можно рассматривать как статистику.

Порядковые статистики основаны на вычислении вариационного ряда, который получается из исходной выборки ${\displaystyle x^{m}=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ путём упорядочивания её элементов по возрастанию:

${\displaystyle x^{(1)}\leqslant x^{(2)}\leqslant \cdots \leqslant x^{(m)}}$.

Значение ${\displaystyle x^{(k)}}$ называется ${\displaystyle k}$-й порядковой статистикой.

• Выборочный ${\displaystyle \lambda }$-квантиль при ${\displaystyle 0<\lambda <1}$:

  ${\displaystyle x^{(m\lambda +1)}.}$

• Размах выборки:

  ${\displaystyle \Delta =x^{(m)}-x^{(1)}}$.

• Выборочная медиана:

  ${\displaystyle \mu ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(x^{(k)}+x^{(k+1)}\right),&m=2k;\\x^{(k+1)},&m=2k+1\end{cases}}}$.

Значение ${\displaystyle r_{i}}$ называется рангом элемента выборки ${\displaystyle x_{i}}$, если ${\displaystyle x_{i}=x^{(r_{i})}}$.

Ранговой статистикой называется любая статистика, которая является функцией от рангов элементов ${\displaystyle r_{i}}$, а не от их значений ${\displaystyle x_{i}}$. Переход от значений к их рангам позволяет строить непараметрические статистические критерии, которые не опираются на априорные предположения о функции распределения выборки. Они имеют гораздо более широкую область применения, чем параметрические статистические критерии.

Аналогом выборочного среднего является средний ранг:

${\displaystyle R={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}r_{i}.}$

Многие используемые на практике ранговые статистики принадлежат семейству линейных ранговых статистик, либо асимптотически приближаются к линейным при ${\displaystyle m\to \infty }$. Линейная ранговая статистика в общем случае имеет вид:

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{m}a(i,r_{i})}$,

где ${\displaystyle a(i,j)}$ — произвольная заданная числовая матрица размера ${\displaystyle m\times m}$.

• Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
• Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009. Вып. 14: Лекции по асимптотической теории ранговых критериев / Чибисов Д. М. – 176 с.
• Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –3-е изд. перераб. и доп.- М.: Радио и связь, 1989. – 656с.: ил. ISBN 5-256-00264-3

• Статистика: функция выборки

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.