Степенная функция

Графики функций вида ${\displaystyle y=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}}$, где ${\displaystyle n}$ — натуральное число, называются гиперболами порядка ${\displaystyle n}$. При нечётном ${\displaystyle n}$

гипербол. При чётном ${\displaystyle n}$ асимптотами являются

. При показателе ${\displaystyle -1}$ получается функция ${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$, называемая

• 
  Графики степенных функций с рациональным показателем
• 
  Полукубические параболы ${\displaystyle y=ax^{3/2}}$

Возведение в рациональную степень ${\displaystyle p/q}$ определяется формулой:

${\displaystyle x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}.}$

Если ${\displaystyle p=1}$, то функция представляет собой

${\displaystyle q}$

${\displaystyle y=x^{1/q}={\sqrt[{q}]{x}}.}$

Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период ${\displaystyle T}$ обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью ${\displaystyle A}$ её орбиты соотношением: ${\displaystyle T=kA^{3/2}}$ (полукубическая парабола).

В интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$ функция монотонно возрастает при ${\displaystyle a>0}$ и монотонно убывает при ${\displaystyle a<0.}$ Значения функции в этом интервале положительны^[3].

Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена^[4].

Производная функции: ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}}$.

Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если ${\displaystyle a<n}$, то ${\displaystyle n}$-я производная в нуле не определена. Например, функция ${\displaystyle y={\sqrt {x}}=x^{1/2}}$ определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная ${\displaystyle y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ в нуле не определена.

Неопределённый интеграл^[4]:

• Если ${\displaystyle a\neq -1}$, то ${\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}$
• При ${\displaystyle a=-1}$ получаем: ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C}$

Степенная функция комплексного переменного ${\displaystyle z}$ в общем виде определяется формулой^[7]:

${\displaystyle y=z^{c}=e^{c\cdot \operatorname {Ln} (z)}}$

Здесь показатель степени ${\displaystyle c}$ — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее

${\displaystyle i^{i}}$

${\displaystyle e^{-(4k+1){\frac {\pi }{2}}},}$

${\displaystyle k}$

${\displaystyle e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}.}$

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

1. При натуральном показателе степени функция ${\displaystyle y=z^{n}}$ однозначна и n-листна^[8].
2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$, то у функции будет ${\displaystyle q}$ различных значений^[7].

• Логарифм
• Целая рациональная функция
• Показательная функция
• Степенной закон в статистике

• Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.:
  Советская Энциклопедия
  , 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
• Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

• Степенная функция : [арх. 19 октября 2022] //
  Ю. С. Осипов
  . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.