Теорема Дэвенпорта — Шмидта
В
Теорема
Для рационального или квадратичного иррационального числа существуют уникальные целые числа , и такие, что хотя бы одно из них не равно нулю, первое ненулевое из них положительно, они взаимно просты, и выполняется
Если — квадратичное иррациональное число, в качестве , и можно взять коэффициенты его минимального полинома. Если рационально, примем . Используя эти целые числа, однозначно определённые для каждого такого , высоту задаётся по формуле
Теорема утверждает, что для любого действительного числа , которое не является ни рациональным, ни квадратичным иррациональным, можно найти бесконечно много действительных чисел , которые являются рациональными или квадратичными иррациональными и которые удовлетворяют неравенству
где — любое действительное число, удовлетворяющее .[1]
Хотя эта теорема связана с
Примечания
- ↑ Davenport H., Schmidt Wolfgang M. Approximation to real numbers by quadratic irrationals // Acta Arithmetica 13, (1967).
Литература
- Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
- Schmidt Wolfgang M. Diophantine approximations and Diophantine equations // Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.
Ссылки
- Davenport-Schmidt theorem (англ.). PlanetMath.