Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
В математике и физике, уравнение Кадомцева — Петвиашвили (часто сокращённо называемое уравнением КП) — это дифференциальное уравнение в частных производных для описания нелинейного волнового движения. Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили уравнение КП обычно записывается как:
где . Приведённая выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения, x и y, одномерного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x, то есть с медленными изменениями значений в направлении y.
Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо[1][2][3][4][5]. Оно также может быть решено с помощью обратного преобразования рассеяния[англ.], как и нелинейное уравнение Шрёдингера[6].
История
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/RIAN_archive_151311_Russian_physicist_Boris_Kadomtsev.jpg/180px-RIAN_archive_151311_Russian_physicist_Boris_Kadomtsev.jpg)
Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Кадомцевым (1928—1998) и Владимиром Петвиашвили (1936—1993); оно появилось как естественное обобщение уравнения КдФ (выведенного Кортевегом и де Фризом в 1895 году). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, и в уравнении КдФ, и в уравнении КП волны должны двигаться в положительном направлении x.
Связь с физикой
Уравнение КП может быть использовано для моделирования волн большой длины со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией. Если поверхностное натяжение слабо по сравнению с гравитационными силами, используется ; если же поверхностное натяжение сильное, то . Из-за асимметрии в том, как x- и y-переменные входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (x) и поперечном (y) направлении; колебания в y-направлении имеют тенденцию быть более гладкими (иметь малые отклонения).
Уравнение КП может также использоваться для моделирования волн в ферромагнитных средах[7], а также двумерных волновых импульсов в конденсатах Бозе-Эйнштейна.
Ограниченность
Для , типичные осцилляции, зависящие от x, имеют длину волны , что даёт сингулярный предельный режим в виде . Предел называется бездисперсионным[англ.] пределом.[8][9][10]
Если мы также предположим, что решения не зависят от y при , то они будут удовлетворять невязкому уравнению Бюргерса:
Предположим, что амплитуда колебаний решения асимптотически мала — — в бездисперсионном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дейви-Стюартсона[англ.].
См. также
- Уравнение Новикова — Веселова[англ.]
- Проблема Шоттки[англ.]
- Бездисперсионное уравнение Кадомцева — Петвиашвили[англ.]
Примечания
- 15 мая 2023 года.
- 1 апреля 2022 года.
- 17 октября 2022 года.
- .
- 22 октября 2022 года.
- ↑ Марк Дж. Абловиц, Харви Сегур. Solitons and the Inverse Scattering Transform (англ.). — Society for Industrial and Applied Mathematics, 1981-01. — ISBN 978-0-89871-174-5, 978-1-61197-088-3.
- 20 октября 2022 года.
- ↑ Захаров, В. Е. Бесдисперсионный предел интегрируемых систем в 2+1 измерениях // Сингулярные пределы дисперсионных волн. — Бостон : Springer, 1994. — P. 165–174. — ISBN 0-306-44628-6.
- ↑ Страчан, И. А. (1995). "The Moyal bracket and the dispersionless limit of the KP hierarchy". Journal of Physics A: Mathematical and General (англ.). 28 (7): 1967. arXiv:hep-th/9410048. doi:10.1088/0305-4470/28/7/018.
- ↑ Такасаки, К.; Такебе, Т. (29.06.1994). "Integrable hierarchies and dispersionless limit". Reviews in Mathematical Physics. 7 (5): 743—808. arXiv:hep-th/9405096. doi:10.1142/S0129055X9500030X.
{{cite journal}}
: Проверьте значение даты:|date=
(справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)
Литература
- Кадомцев, Б. Б.; Петвиашвили, В. И. (09.02.1970). "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР. 15: 539—541. Bibcode:1970SPhD...15..539K.
{{cite journal}}
: Проверьте значение даты:|date=
(справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка). Translation of "Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах". Докл. АН СССР. 192: 753—756. 09.02.1970.{{cite journal}}
: Проверьте значение даты:|date=
(справка) - Кодама, Ю. KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns : [англ.]. — Springer, 2017. — ISBN 978-981-10-4093-1.
- Лу, С.-Ю.; Ху, С.-Б. (21.03.1997). "Infinitely many Lax pairs and symmetry constraints of the KP equation". Journal of Mathematical Physics (англ.). 38 (12): 6401—6427. doi:10.1063/1.532219.
{{cite journal}}
: Проверьте значение даты:|date=
(справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка) - Минцони, А. А.; Смит, Н. Ф. (Ноябрь1996). "Evolution of lump solutions for the KP equation". Wave Motion (англ.). 24 (3): 291—305. doi:10.1016/S0165-2125(96)00023-6.
{{cite journal}}
: Проверьте значение даты:|date=
(справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка) - Накамура, А. (12.09.1988). "A bilinear N-soliton formula for the KP equation". Journal of the Physical Society of Japan (англ.). 58 (2): 412—422. doi:10.1143/JPSJ.58.412.
{{cite journal}}
: Проверьте значение даты:|date=
and|year=
/|date=
mismatch (справка) - Превиато, Эмма (2001), "KP-equation", in Hazewinkel, Michiel (ed.), ISBN 978-1-55608-010-4
- Сяо, Т.; Цзэн, Ю. (30.06.2004). "Generalized Darboux transformations for the KP equation with self-consistent sources". Journal of Physics A: Mathematical and General (англ.). 37 (28): 7143. arXiv:nlin/0412070. doi:10.1088/0305-4470/37/28/006.
{{cite journal}}
: Проверьте значение даты:|date=
(справка)Википедия:Обслуживание CS1 (дата и год) (ссылка)
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Джони Биондини и Дмитрий Пелиновский. Kadomtsev–Petviashvili equation (англ.). Scholarpedia.
- Бернар Деконинк. The KP page (англ.). University of Washington, Department of Applied Mathematics. Дата обращения: 20 октября 2022. Архивировано из оригинала6 февраля 2006 года.