Участник:Д.Ильин/Черновик4

Точки Лагра́нжа, точки либра́ции (лат. libratio — раскачивание) или L-точки — выделенные точки в системе из двух массивных тел, вращающихся вокруг общего центра масс системы по круговым орбитам в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействия никаких других сил, кроме гравитационных и центробежных сил во вращающейся системе координат в которой массивные тела неподвижны, может оставаться неподвижным относительно системы этих тел.

Более точно — точки Лагранжа представляют собой особые точки, возникающие при решении так называемой ограниченной задачи трёх тел — задачи, в которой орбиты массивных тел в общем случае с разными массами являются круговыми. В этом случае можно считать, что два массивных тела обращаются вокруг их общего неподвижного центра масс с постоянной угловой скоростью.

Во вращающейся системе координат, связанной с массивными телами, можно формально ввести

с потенциалом ${\displaystyle \Phi }$, учитывающем центробежную силу и гравитационные силы тел, где работа по перемещению пробного тела не будет зависеть от траектории перемещения, только от положения начальной и конечной точек и будет равна разности потенциалов в начальной и конечной точках.

В этом потенциальном поле в плоскости орбит массивных тел можно указать 5 стационарных точек для функции потенциала ${\displaystyle \Phi (x,y)}$ и где на третье тело с пренебрежимо малой массой не действуют никакие силы и оно может оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, связанной с массивными телами. В этих точках векторная сумма гравитационных сил от массивных тел и центробежной силы равна нулю. В неподвижной системе координат точки Лагранжа движутся синхронно с двумя телами по круговым траекториям вокруг общего центра масс. Если орбиты массивных тел эллиптические, то поле перестаёт быть потенциальным и в такой системе точек Лагранжа, строго говоря, не может быть. Если эксцентриситет эллиптических орбит мал, то некоторые точки можно считать приблизительно точками Лагранжа.

Точки Лагранжа получили своё название в честь французского математика Жозефа Луи Лагранжа, который первым в «Эссе о проблеме трех тел», опубликованном в 1772 году^[1] привёл решение ограниченной задачи трёх тел, из которого следовало существование этих выделенных точек. До Лагранжа на существование трёх точек, сейчас называемых ${\displaystyle L_{1},\ L_{2},\ L_{3}}$ указал Леонард Эйлер в 1765 году^[2][3].

${\displaystyle \Phi _{G}(R,\theta ,\varphi )=-{\frac {GM_{1}}{R_{1}(R,\theta ,\varphi )}}-{\frac {GM_{1}}{R_{1}(R,\theta ,\varphi )}},}$

${\displaystyle \Phi _{C}(R,\theta ,\varphi )=-{\frac {\omega ^{2}R^{2}\sin ^{2}\theta }{2}},}$

${\displaystyle R_{1}={\sqrt {a_{1}^{2}+R^{2}+2a_{1}R\cos \varphi }},}$

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {a_{2}^{2}+R^{2}-2a_{2}R\cos \varphi }},}$

${\displaystyle M_{2}\omega ^{2}a_{2}=G{\frac {M_{1}M_{2}}{(a_{1}+a_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle \omega ={\sqrt {G{\frac {M_{1}}{a_{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}}}}$

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел, их принято обозначать заглавной латинской буквой ${\displaystyle L}$ с числовым индексом: ${\displaystyle L_{1},\ L_{2},\ L_{3},\ L_{4},\ L_{5}}$. Первые три точки расположены на прямой, проходящей через центры массивных тел. Эти точки называются коллинеарными и обозначаются ${\displaystyle L_{1},\ L_{2},\ L_{3}}$. Точки ${\displaystyle L_{4},\ L_{5}}$ называются «треугольными» или «троянскими». Точки ${\displaystyle L_{1},\ L_{2},\ L_{3}}$ являются точками неустойчивого равновесия для пробного тела, в точках ${\displaystyle L_{4},\ L_{5}}$ равновесие устойчивое, если отношение масс массивных тел превышает 24,96.

${\displaystyle L_{1}}$ находится на прямой между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу, ${\displaystyle L_{2}}$ — снаружи, за менее массивным телом и ${\displaystyle L_{3}}$ — за более массивным. В системе координат с началом отсчета в центре масс системы и с осью, направленной от центра масс к менее массивному телу, координаты этих точек в зависимости от ${\displaystyle \alpha }$ рассчитываются с помощью следующих приближённых формул, точный расчёт сводится к решению алгебраического уравнения 5-й степени и в элементарных функциях не выражается^[5][6]:

${\displaystyle r_{1}=\left(R\left[1-\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right],0\right),}$

${\displaystyle r_{2}=\left(R\left[1+\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right],0\right),}$

${\displaystyle r_{3}=\left(-R\left[1+{\frac {5}{12}}\alpha \right],0\right),}$

где ${\displaystyle \alpha ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}},}$

${\displaystyle R}$ — расстояние между телами,

${\displaystyle M_{1}}$ — масса более массивного тела,

${\displaystyle M_{2}}$ — масса менее массивного тела.

Точка ${\displaystyle L_{1}}$ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ (${\displaystyle M_{1}>M_{2}}$) и находится между ними, вблизи менее массивного тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела ${\displaystyle M_{2}}$ частично компенсирует гравитацию тела ${\displaystyle M_{1}}$. При этом чем больше масса ${\displaystyle M_{2}}$, тем дальше от него будет располагаться эта точка.

Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете — в точке ${\displaystyle L_{1}}$ — действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки ${\displaystyle L_{1}}$ составляет около 1,5 млн км. Гравитационное ускорение от Солнца здесь (118 мкм/с²) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (116 мкм/с²), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (59 мкм/с²). Сумма этих двух эффектов уравновешивается гравитационным ускорением от Земли, которое составляет здесь также 177 мкм/с².

Точка ${\displaystyle L_{2}}$ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ (${\displaystyle M_{1}>M_{2}}$) и находится за телом с меньшей массой. Точки ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ располагаются на одной линии и в пределе при ${\displaystyle M_{1}\gg M_{2}}$ симметричны относительно ${\displaystyle M_{2}}$. В точке ${\displaystyle L_{2}}$ гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.

Пример: У объектов, расположенных дальше от Солнца за орбитой Земли, орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на тело силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке ${\displaystyle L_{2}}$ орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.

Если ${\displaystyle M_{2}}$ много меньше по массе, чем ${\displaystyle M_{1}}$, то точки ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ находятся на примерно одинаковом расстоянии ${\displaystyle r}$ от тела ${\displaystyle M_{2}}$, это расстояние называют радиусом сферы Хилла:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}}$

где ${\displaystyle R}$ — расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг ${\displaystyle M_{2}}$, для которой период обращения в отсутствие ${\displaystyle M_{1}}$ в ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1,73}$ раз меньше, чем период обращения ${\displaystyle M_{2}}$ вокруг ${\displaystyle M_{1}}$.

• В системе Солнце — Земля это расстояние около 1 500 000 км от центра Земли.
• Земля — Луна около 61 500 км от центра Луны.

Точка ${\displaystyle L_{3}}$ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$, ${\displaystyle M_{1}>M_{2},}$ и находится за телом с бо?льшей массой. Так же как и в точке ${\displaystyle L_{2}}$ в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

Пример: точка ${\displaystyle L_{3}}$ в системе Солнце — Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою малую (по сравнению с солнечной) гравитацию, Земля всё же оказывает там небольшое влияние, поэтому точка ${\displaystyle L_{3}}$ находится не на самой орбите Земли, а чуть ближе к Солнцу (на 2 тыс. км, или около 0,002 % астрономической единицы)^[7], так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра^[7]. В результате в точке ${\displaystyle L_{3}}$ достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и Земля.

Если на прямой соединяющей оба массивных тела системы построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$, то точки ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$ будут находиться в третьих вершинах этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в 60 градусах впереди и позади него.

Существование и устойчивость этих точек обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то и силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом, результирующая гравитационная сила направлена к центру масс системы. Кроме того, из треугольника сил следует, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс в той же пропорции, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. На самом деле, масса третьего тела и не обязательно должна быть пренебрежимо малой. Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел. Точки ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$ иногда называют треугольными точками Лагранжа (чтобы отличить их от коллинеарных).

Также эти точки называют троянскими: название происходит от троянских астероидов Юпитера, находящихся в ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$ системы Юпитер — Солнце, — это наиболее известный пример проявления этих точек. Традиционно эти астероиды получают имена героев Троянской войны из «Илиады» Гомера, причём астероиды в точке ${\displaystyle L_{4}}$ (опережающей Юпитер на орбите) получили имена греков, а в точке ${\displaystyle L_{5}}$ (отстающей от Юпитера) — защитников Трои, поэтому их теперь так и называют «греками» (или «ахейцами») и «троянцами».

Расстояния от центра масс системы до этих точек в системе координат с центром координат в центре масс системы рассчитываются по формулам:

${\displaystyle r_{4}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right),}$

${\displaystyle r_{5}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,-{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right),}$

где

${\displaystyle \beta ={\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$,

${\displaystyle R}$ — расстояние между телами,

${\displaystyle M_{1}}$ — масса более массивного тела,

${\displaystyle M_{2}}$ — масса второго тела.

• В 2010 году в системе Солнце — Земля в троянской точке ${\displaystyle L_{4}}$ обнаружен астероид^[8]. В ${\displaystyle L_{5}}$ пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли.
• По некоторым наблюдениям, в точках ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$ системы Земля — Луна находятся очень разрежённые скопления межпланетной пыли — облака Кордылевского.
• В системе Солнце — Юпитер в окрестностях точек ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$ находятся так называемые троянские астероиды. По состоянию на 21 октября 2010 известно около четырёх с половиной тысяч таких астероидов^[9].
• Троянские астероиды в точках ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$ есть не только у Юпитера, но и у других планет-гигантов^[10].
• Другим интересным примером является спутник Сатурна Тефия, в точках ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$ которой находятся два небольших спутника — Телесто и Калипсо. Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн — Диона: это Елена в точке ${\displaystyle L_{4}}$ и Полидевк в точке ${\displaystyle L_{5}}$. Тефия и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что придаёт устойчивость систему.
• Один из гипотетических сценариев модели ударного формирования Луны предполагает, что гипотетическая протопланета (планетезималь) Тейя, в результате столкновения которой с Землёй образовалась Луна, сформировалась в точке Лагранжа ${\displaystyle L_{4}}$ или ${\displaystyle L_{5}}$ системы Солнце — Земля^[11].
• Первоначально считалось, что в звёздной системе Kepler-223 две из четырёх планет обращаются вокруг своей звезды по одной орбите на расстоянии 60 градусов^[12]. Однако дальнейшие наблюдения показали, что эта система не содержит коорбитальных планет^[13].

В таблице приведены рассчитанные положения точек Лагранжа ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle L_{2}}$ и ${\displaystyle L_{3}}$ для некоторых пар тел в солнечной системе.

В этой таблице указаны рассчитанные расстояния до точек ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle L_{2}}$ и ${\displaystyle L_{3}}$. При расчётах предполагаются, что два тела вращаются по круговым орбитам на удалении равным расстоянию между центрами космических тел, и влияние других тел солнечной системы пренебрежимо мало. Расстояния указаны от центра масс более массивного тела, при этом координата ${\displaystyle L_{3}}$ имеет отрицательный знак.

В процентах указаны расстояния относительно расстояния между центрами тел. Например, в системе Земля — Луна для Луны ${\displaystyle L_{1}}$ находится в 326 400 км от центра Земли, что составляет 84,9 % от расстояния от Земли до Луны или 15,1 % расстояния от Луны. ${\displaystyle L_{2}}$ находится в 448 900 км от центра Земли, что составляет 116,8 % от расстояния Земля — Луна или 16,8 % расстояния от Луны. ${\displaystyle L_{3},}$ находится в 381 700 км от центра Земли, что составляет 99,3 % расстояния Земля — Луна или на 0,7084 % дальше от орбиты Луны.

Точки Лагранжа солнечной системы

Пара тел	Расстояние между телами D, м	${\displaystyle L_{1},}$ м	${\displaystyle 1-L_{1}/D,}$ %	${\displaystyle L_{2},}$ м	${\displaystyle L_{2}/D-1,}$ %	${\displaystyle L_{3},}$ м	${\displaystyle 1+L_{3}/D,}$ %
Земля — Луна	3,844⋅108	3,2639⋅108	15,09	4,489⋅108	16,78	−3,8168⋅108	0,7084
Солнце — Меркурий	5,7909⋅1010	5,7689⋅1010	0,3806	5,813⋅1010	0,3815	−5,7909⋅1010	0,000009683
Солнце — Венера	1,0821⋅1011	1,072⋅1011	0,9315	1,0922⋅1011	0,9373	−1,0821⋅1011	0,0001428
Солнце — Земля	1,496⋅1011	1,4811⋅1011	0,997	1,511⋅1011	1,004	−1,496⋅1011	0,0001752
Солнце — Марс	2,2794⋅1011	2,2686⋅1011	0,4748	2,2903⋅1011	0,4763	−2,2794⋅1011	0,00001882
Солнце — Юпитер	7,7834⋅1011	7,2645⋅1011	6,667	8,3265⋅1011	6,978	−7,7791⋅1011	0,05563
Солнце — Сатурн	1,4267⋅1012	1,3625⋅1012	4,496	1,4928⋅1012	4,635	−1,4264⋅1012	0,01667
Солнце — Уран	2,8707⋅1012	2,8011⋅1012	2,421	2,9413⋅1012	2,461	−2,8706⋅1012	0,002546
Солнце — Нептун	4,4984⋅1012	4,3834⋅1012	2,557	4,6154⋅1012	2,602	−4,4983⋅1012	0,003004

Все точки Лагранжа являются стационарными точками, то есть первые частные производные по координатам в плоскости орбит во вращающейся системе координат равны нулю. В модели потенциала ${\displaystyle z=\Phi (x,\ y)}$ в виде поверхности, в точках Лагранжа касательные к этой поверхности параллельны плоскости ${\displaystyle (x,\ y)}$, или, если ось z направить вертикально, то касательные будут горизонтальны. Это означает, что пробное тело, помещённое строго в точку Лагранжа будет находиться в равновесии.

Функция потенциала в коллинеарных точках Лагранжа имеет седловидный вид и поэтому пробное тело находится в неустойчивом равновесии. Например, если объект в точке ${\displaystyle L_{1}}$ слегка смещается вдоль прямой, соединяющей два массивных тела, то сила, притягивающая его к тому телу, к которому оно приближается, увеличивается, а сила притяжения со стороны другого тела, наоборот, уменьшается. В результате объект будет всё больше удаляться от положения равновесия — как бы «скатываться с горного перевала» в долину. Если объект в точке ${\displaystyle L_{1}}$ немного сместить в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей два массивных тела, то тело как бы «взбирается на вершину» от перевала и возникающая сила стремится вернуть тело на седловую точку.

Такая особенность поведения тел в окрестностях точки ${\displaystyle L_{1}}$ играет важную роль в эволюции тесных двойных звёздных систем. В процессе эволюции вначале более массивный компонент сходит с главной последовательности, превращаясь в красный гигант, и заполняет свою полость Роша. Полости Роша компонентов системы соприкасаются в точке ${\displaystyle L_{1}}$, поэтому, когда одна из звёзд-компаньонов в процессе эволюции заполняет свою полость Роша, вещество с «раздувшейся» звезды перетекает на соседку именно через окрестности точки Лагранжа ${\displaystyle L_{1}}$^[14]. Перетекающее вещество в окрестностях ${\displaystyle L_{1}}$ обладает вращательным моментом относительно центра масс системы, поэтому газ закручивается в аккреционный диск вокруг принимающей вещество звезды.

Несмотря на то, что коллинеарные точки неустойчивы, космический аппарат может оставаться на ней в течение длительного времени, затрачивая относительно небольшое количество топлива для коррекции орбиты^[15].

В отличие от коллинеарных точек Лагранжа в точках ${\displaystyle L_{4},\ L_{5}}$ функция потенциала ${\displaystyle \Phi (x,\ y)}$ имеет локальный экстремум, причем если отношение масс массивных тел ${\displaystyle M_{1}/M_{2}<24,96}$, то это будет локальный максимум и тело помещённое в эти точки будет как бы «скатываться с вершины горы» при малом отклонении от точек равновесия. Если же ${\displaystyle M_{1}/M_{2}>24,96}$

.

Точки Лагранжа в космонавтике

Информация в этом разделе устарела. Вы можете помочь проекту, обновив её и убрав после этого данный шаблон.

Исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа.

${\displaystyle L_{1}}$ В системе Солнце — Земля

В системе Солнце — Земля точка ${\displaystyle L_{1}}$ может быть удобным местом для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни тенью Земли, ни тенью Луны.

• Genesis — космический аппарат НАСА, предназначенный для сбора и доставки на Землю образцов солнечного ветра. Запущен орбиту вокруг точки Лагранжа L1 с последующим облетом точки L2^[17].

• Advanced Composition Explorer (запущен в 1997 году).

Первым аппаратом, работавшим вблизи этой точки, был запущенный в августе 1978 года аппарат ISEE-3. Аппарат вышел на периодическую гало-орбиту вокруг этой точки 20 ноября 1978 года^[18] и был уведён с этой орбиты 10 июня 1982 года для выполнения новых задач^[19].

В этой же точке с мая 1995 года работает аппарат SOHO.

• SOHO (англ. Solar and Heliospheric Observatory, «Солнечная и гелиосферная обсерватория»).

ISEE-3 International Cometary Explorer (запущен в 1978 году) Космический аппарат WIND, предназначенный для исследования солнечного ветра (запущен в 1994 году).

SOHO (англ. Solar and Heliospheric Observatory, «Солнечная и гелиосферная обсерватория»), запущен в 1995 году.

Genesis — космический аппарат НАСА, предназначенный для сбора и доставки на Землю вещества солнечного ветра. Запущен в 2001 году на орбиту вокруг точки Лагранжа L1 с последующим облетом точки L2. [24]

Advanced Composition Explorer (запущен в 1997 году). Космическая обсерватория DSCOVR (запущена в 2015 году). LISA Pathfinder осуществлял проверку технологий, необходимых для планируемой постройки обсерватории evolved Laser Interferometer Space Antenna (eLISA). Целью миссии eLISA, запуск которой запланирован на 2034 год, является возможность регистрировать гравитационные волны и проверка общей теории относительности (запущена в 2015 году).

Аппараты ACE,

Космический аппарат WIND, предназначенный для исследования солнечного ветра, запущен в 1994 году.

Космическая обсерватория DSCOVR запущена 8 июня 2015 г. DSCOVR находится на квазипериодических орбитах Лиссажу? близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997 г.

^[20], 16 ноября 2001 года и 2015 года^[21].

В 2016—2017 годах также в окрестностях этой точки проводил эксперименты аппарат

.

${\displaystyle L_{2}}$ В системе Солнце — Земля

${\displaystyle L_{3}}$ в системе Солнце — Земля

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки ${\displaystyle L_{3}}$, могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца, в частности, за появлением новых пятен или вспышек пока невидимых с Земли и оперативно передавать информацию о них на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA Space Weather Prediction Center^[англ.]). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника^[23].

Точка ${\displaystyle L_{2}}$ в системе Земля — Луна может быть использована для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной, невидимой с Земли, стороне Луны^[24].

Лунная точка ${\displaystyle L_{1}}$ в системе Земля — Луна удалена от центра Земли примерно на 315 тыс. км^[25]) может стать удобным местом для размещения космической пилотируемой орбитальной станции, которая, располагаясь на пути между Землёй и Луной, позволила бы легко достичь Луны с минимальными затратами топлива и стать перевалочной базой для грузового потока между Землёй и её спутником^[26].

Точка ${\displaystyle L_{2}}$ подходит для космического телескопа — здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к ${\displaystyle L_{2}}$ неосвещенной стороной. Точка ${\displaystyle L_{1}}$ системы Земля — Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращённого к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землёй.

В настоящее время несколько космических аппаратов, в первую очередь, астрофизических обсерваторий, размещены или планируются к размещению в различных точках Лагранжа Солнечной системы^[15]:

Точка L₂ системы Земля—Солнце:

• КА НАСА WMAP, изучающий реликтовое излучение (запущен в 2001 году).
• Космические телескопы «Гершель» и «Планк», (запущены в 2009 году)^[27][28].
• Европейский телескоп «Gaia» (запущен в 2013 году).
• Космический телескоп «Джеймс Уэбб», идущий на смену телескопу «Хаббл». Запуск отложен на март 2021 года^[29].
• В 2019 году
  НПО имени Лавочкина планирует разместить в точке L₂ космическую обсерваторию Спектр-РГ^[30]
  .
• В 2024 году ЕКА планирует также разместить в точке L₂ космический телескоп «PLATO»^[31].

Другие точки Лагранжа

• в сентябре-октябре 2009 года два аппарата STEREO совершили транзит через точки ${\displaystyle L_{4}}$ и ${\displaystyle L_{5}}$^[32].
• JIMO^[англ.] (Jupiter Icy Moons Orbiter) — отменённый проект NASA по исследованию спутников Юпитера, который должен был активно использовать систему точек Лагранжа для перехода от одного спутника к другому с минимальными затратами топлива. Этот манёвр получил название «лестница Лагранжа»^[33].
• THEMIS несколько аппаратов вокруг точек L1 и L2 системы Земля — Луна
• ретрансляционный спутник Цюэцяо, выведенный на орбиту 20 мая 2018 года с помощью ракеты Чанчжэн-4C^[34], циркулирует по гало-орбите вокруг точки Лагранжа L2 системы Земля — Луна^[35].

В точке ${\displaystyle L_{1}}$ системы Солнце — Земля объекты никогда не затеняются Землей или Луной и отсюда всегда видно освещенное солнцем земное полушарие. Первой аппаратом, запущенным в эту точку в 1978 г. был

(ISEE-3), который использовался для раннего предупреждения о солнечных вспышках.

В ${\displaystyle L_{1}}$ удобно размещать космические солнечные телескопы, так как наблюдение их этой точки обеспечивает непрерывный обзор Солнца, и выбросы солнечного ветра и корональной массы достигают точку ${\displaystyle L_{1}}$ за несколько часов до достижения ими Земли. Сейчас там находятся солнечные телескопы

(ACE) .

С июня 2015 г. вокруг точки ${\displaystyle L_{1}}$ обращается аппарат DSCOVR . Аппарат предназначен для наблюдения за Солнцем и Землей.

Точка ${\displaystyle L_{2}}$ в системе Солнце — Земля является удобным местом для строительства космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в этой точке способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли без коррекции орбиты, производить его экранирование от излучения Солнца и калибровку приборов становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше вершины конуса полной земной тени (в области полутени)^{[прим. 1]}, так что излучение Солнца затенено в этой точке не полностью. Так как объект находится в полутени Земли, только за счет естественного охлаждения его стационарная температура может опуститься до 50 К, что упрощает и снижает вес охлаждающих бортовых устройств для приёмников инфракрасного излучения и реликтового излучения.

На гало-орбитах вокруг этой точки уже находятся аппараты американского и европейского космических агентств — WMAP, «Планк», «Гершель» и Gaia, 13 июля 2019 года рентгеновская обсерватория «Спектр-РГ» вышла на траекторию к точке Лагранжа ${\displaystyle L_{2},}$ а в 2021 году к этим аппаратам должен отправлен космический телескоп «Джеймс Уэбб».

Солнце-Земля ${\displaystyle L_{2}}$ — хорошее место для космических обсерваторий. Поскольку объект вокруг L${\displaystyle L_{2}}$ будет сохранять одинаковое относительное положение относительно Солнца и Земли, экранирование и калибровка намного проще. Это, однако, немного за пределами досягаемости земных зон, поэтому солнечное излучение не полностью блокируется в L${\displaystyle L_{2}}$. Космические аппараты обычно вращаются вокруг L${\displaystyle L_{2}}$, избегая частичных солнечных затмений для поддержания постоянной температуры. Из мест вблизи ${\displaystyle L_{2}}$ Солнце, Земля и Луна находятся относительно близко друг к другу на небе; это означает, что большой навес с телескопом на темной стороне может позволить телескопу пассивно остыть до температуры около 50 К — это особенно полезно для и наблюдения.

должен быть расположен на L${\displaystyle L_{2}}$.

Солнце-Земля ${\displaystyle L_{3}}$ был популярным местом поставить "

. Как только космические наблюдения стали возможными с помощью спутников и зондов, было показано, что они не удерживают такой объект. Солнце-Земля ${\displaystyle L_{3}}$ неустойчиво и не может очень долго содержать природный объект, большой или маленький. Это потому, что гравитационные силы других планет сильнее, чем силы Земли (например, Венера находится в пределах 0,3 AU от этого ${\displaystyle L_{3}}$ каждые 20 месяцев).

Космический корабль, находящийся на орбите вблизи Солнца-Земли ${\displaystyle L_{3}}$ , сможет внимательно следить за развитием активных областей солнечных пятен, прежде чем они повернутся в геоэффективное положение, так что

может выдать 7-дневное раннее предупреждение . Кроме того, спутник вблизи Солнца-Земли ${\displaystyle L_{3}}$ обеспечит очень важные наблюдения не только для прогнозов Земли, но и для поддержки дальнего космоса (прогнозы Марса и для полета человека к околоземным астероидам). В 2010 году были изучены траектории перехода космического аппарата к Солнцу — Земле ${\displaystyle L_{3}}$ и рассмотрено несколько проектов.

Миссии к лагранжевым точкам обычно вращаются вокруг точек, а не занимают их непосредственно.

Другое интересное и полезное свойство коллинеарных лагранжевых точек и связанных с ними орбит Лиссажу состоит в том, что они служат «воротами» для управления хаотическими траекториями Межпланетной транспортной сети .

Земля-Луна ${\displaystyle L_{1}}$ обеспечивает сравнительно легкий доступ к лунным и земным орбитам с минимальным изменением скорости, и это имеет преимущество в том, чтобы разместить наполовину пилотируемую космическую станцию, предназначенную для доставки грузов и персонала на Луну и обратно.

Земля-Луна ${\displaystyle L_{2}}$ использовалась для

в рамках предлагаемого депо на базе космическая транспортная архитектура.

7.3 Солнце — Венера

Ученые B612 Foundation были планируют использовать Венеру "s ${\displaystyle L_{3}}$ точки в положение запланированную Стража телескоп, целью которого было оглядываться в сторону орбиты Земли и составить каталог околоземных астероидов .

В 2017 году Nasa предложила идею размещения магнитного дипольного экрана в точке Солнца-Марса ${\displaystyle L_{1}}$ для использования в качестве искусственной магнитосферы для Марса. Идея состоит в том, что это защитит атмосферу планеты от солнечного излучения и солнечных ветров.

Sun-Earth ${\displaystyle L_{1}}$ is suited for making observations of the Sun-Earth system. Objects here are never shadowed by Earth or the Moon and, if observing Earth, always view the sunlit hemisphere. The first mission of this type was the 1978

has orbited the ${\displaystyle L_{1}}$ point. Conversely it is also useful for space-based solar telescopes, because it provides an uninterrupted view of the Sun and any space weather (including the solar wind and coronal mass ejections) reaches ${\displaystyle L_{1}}$ a few hours before Earth. Solar telescopes currently located around ${\displaystyle L_{1}}$ include the .

Sun-Earth Шаблон:L2 is a good spot for space-based observatories. Because an object around Шаблон:L2 will maintain the same relative position with respect to the Sun and Earth, shielding and calibration are much simpler. It is, however, slightly beyond the reach of Earth’s umbra,^[37] so solar radiation is not completely blocked at ${\displaystyle L_{2}}$. Spacecraft generally orbit around ${\displaystyle L_{2}}$, avoiding partial eclipses of the Sun to maintain a constant temperature. From locations near ${\displaystyle L_{2}}$, the Sun, Earth and Moon are relatively close together in the sky; this means that a large sunshade with the telescope on the dark-side can allow the telescope to cool passively to around 50 K — this is especially helpful for

is due to be positioned at ${\displaystyle L_{2}}$.

Sun-Earth

every 20 months).

A spacecraft orbiting near Sun-Earth

Missions to Lagrangian points generally orbit the points rather than occupy them directly.

Another interesting and useful property of the collinear Lagrangian points and their associated Lissajous orbits is that they serve as «gateways» to control the chaotic trajectories of the Interplanetary Transport Network.

Earth-Moon Шаблон:L1 allows comparatively easy access to Lunar and Earth orbits with minimal change in velocity and this has as an advantage to position a half-way manned space station intended to help transport cargo and personnel to the Moon and back.

Earth-Moon

Sun-Venus

Scientists at the B612 Foundation were^[42] planning to use Venus's ${\displaystyle L_{3}}$ point to position their planned Sentinel telescope, which aimed to look back towards Earth’s orbit and compile a catalogue of near-Earth asteroids.^[43]

In 2017, Nasa proposed the idea of positioning a magnetic dipole shield at the Sun-Mars Шаблон:L1 point for use as an artificial magnetosphere for Mars.^[44] The idea is that this would protect the planet’s atmosphere from the Sun’s radiation and solar winds.

(ISEE-3) began its mission at the Sun-Earth ${\displaystyle L_{1}}$ before leaving to intercept a comet in 1982. The Sun-Earth ${\displaystyle L_{1}}$ is also the point to which the Reboot ISEE-3 mission was attempting to return the craft as the first phase of a recovery mission (as of September 25, 2014 all efforts have failed and contact was lost).^[45]

.

LISA Pathfinder (LPF) was launched on 3 December 2015, and arrived at Шаблон:L1 on 22 January 2016, where, among other experiments, it tested the technology needed by (e)LISA to detect gravitational waves. LISA Pathfinder used an instrument consisting of two small gold alloy cubes.

Spacecraft at the Sun-Earth ${\displaystyle L_{2}}$ point are in a Lissajous orbit until decommissioned, when they are sent into a heliocentric graveyard orbit.

• 1 October 2001 — October 2010: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe^[49]
• November 2003 — April 2004: WIND, then it returned to Earth orbit before going to ${\displaystyle L_{1}}$ where it still remains
• July 2009 — 29 April 2013: Herschel Space Telescope^[50]
• 3 July 2009 — 21 October 2013: Planck Space Observatory
• 25 August 2011 — April 2012: Chang'e 2,^[51][52] from where it travelled to 4179 Toutatis and then into deep space
• January 2014—2018: Gaia Space Observatory
• 2019: Spektr-RG X-Ray Observatory
• 2020:
  Euclid Space Telescope
• 2021:
  James Webb Space Telescope
  will use a halo orbit
• 2024:
  Wide Field Infrared Survey Telescope
  (WFIRST) will use a halo orbit
• 2031:
  Advanced Telescope for High Energy Astrophysics
  (ATHENA) will use a halo orbit

entered orbit around the Earth-Moon ${\displaystyle L_{2}}$ on 14 June 2018. It serves as a relay satellite for the lunar far-side lander, which cannot communicate directly with Earth.

Легенда:

Планируемый запуск

Выполняемые программы (включая продлённые)

Успешно завершённые программы или частично успешные

Миссия	Точка Лагранжа	Организация	Описание
International Sun-Earth Explorer 3 (ISEE-3)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{1}}$	NASA	Первый в истории космический аппарат, запущенный в 1978 г., на орбиту в окрестности точки либрации. В течение 4 лет работал на гало-орбите в окрестности ${\displaystyle L_{1}}$ системы Солнце — Земля. В сентябре 1982 г. по команде с Земли покинул ${\displaystyle L_{1}}$ для исследования комет и Солнца[53]. В 2014 г., когда аппарат совершал облёт системы Земля — Луна была предпринята попытка, не увенчавшаяся успехом, вернуть аппарат на гало-орбиту в окрестности ${\displaystyle L_{1}}$[54][55].
Advanced Composition Explorer (ACE)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{1}}$	NASA	Запущен в 1997 г. Имеет запас топлива для поддержания орбиты около ${\displaystyle L_{1}}$ до 2024 г. Сейчас находится в работе[56][обновить данные].
Deep Space Climate Observatory (DSCOVR)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{1}}$	NASA	Запущен 11 февраля 2015 года и используется с 2016 г. Вероятная замена для аппарата Advanced Composition Explorer (ACE)[57][обновить данные].
LISA Pathfinder (LPF)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{1}}$	ESA, NASA	Запущен на один день позже запланированной даты, приуроченной к первой публикации статьи об общей теории относительности А. Эйнштейна 3 декабря 1915 г. Прибыл в ${\displaystyle L_{1}}$ 22 января 2016 года[58]. Аппарат LISA Pathfinder был выведен из работы командой с Земли 30 июня 2017 года[59].
Solar and Heliospheric Observatory (SOHO)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{1}}$	ESA, NASA	Находится на орбите вокруг ${\displaystyle L_{1}}$ с 1996 года[60][обновить данные].
WIND	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{1}}$	NASA	Прибыл в ${\displaystyle L_{1}}$ в 2014 году. Имеет запас топлива на 60 лет для удержания в этой точке. Сейчас находится в работе[61][обновить данные].
Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	NASA	Прибыл в ${\displaystyle L_{2}}$ в 2001 году. Программа завершена в 2010 году[62]. По завершению программы аппарат переведен на гелиоцентрическую орбиту вне ${\displaystyle L_{2}}$[63].
Herschel Space Telescope	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	ESA	Прибыл в ${\displaystyle L_{2}}$ в июле 2009 года. Использование аппарата закончено 29 апреля 2013 года. Впоследствии будет переведён на гелиоцентрическую орбиту[64][65].
Planck Space Observatory	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	ESA	Прибыл в ${\displaystyle L_{2}}$ в июле 2009 года. Использование аппарата закончено 23 октября 2013 года. Переведён на на гелиоцентрическую орбиту[66].
Chang'e 2	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	CNSA	Прибыл в ${\displaystyle L_{2}}$ в августе 2011 года после завершения лунной программы перед запуском к астероиду (4179) Таутатис в апреле 2012 года[52].
Chang'e 5-T1 служебный модуль	Земля — Луна ${\displaystyle L_{2}}$	CNSA	Обращается по орбите Лиссажу с периодом 14 суток вокруг ${\displaystyle L_{2}}$ с 27 ноября 2014 года после завершения основной программы участия для возвращения на Землю капсулы с пробами лунного грунта, для чего с 4 января до 13 января 2015 года покидал ${\displaystyle L_{2}}$, затем снова вернулся на эту орбиту[источник?].
ARTEMIS — продолжение программы THEMIS	Земля — Луна ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$	NASA	Mission consists of two spacecraft, which were the first spacecraft to reach Earth-Moon Lagrangian points. Both moved through Earth-Moon Lagrangian points, and are now in lunar orbit.[67][68]
WIND	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	NASA	Arrived at ${\displaystyle L_{2}}$ in November 2003 and departed April 2004.
Gaia Space Observatory	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	ESA	Launched 19 December 2013. Operational as of 24 January 2017.[69][70]Шаблон:Update after
Queqiao	Земля — Луна ${\displaystyle L_{2}}$	CNSA	Launched on 21 May 2018, en route to ${\displaystyle L_{2}}$ halo orbit.[71]
Spektr-RG	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	IKI RAN DLR	Launched 13 July 2019. Roentgen and Gamma space observatory. En route to ${\displaystyle L_{2}}$ point.

Программа	Точка Лагранжа	Организация	Описание
«Спутники Луны для дальней связи»	Земля — Луна ${\displaystyle L_{2}}$	NASA	Предложен в 1968 году для связи со станциями на обратной стороне Луны для обеспечения посадки кораблей "Аполлон" на обратную сторону Луны, но эти спутники никогда не запускались и посадка кораблей "Аполлон" не осуществлялась[72].
Space colonization and manufacturing	Земля — Луна ${\displaystyle L_{4}}$ или ${\displaystyle L_{5}}$	—	Впервые предложен в 1974 году Джерардом О'Нилом[73] и этот проект последовательно поддерживался Сообществом L5.
EQUULEUS	Земля — Луна ${\displaystyle L_{2}}$	JAXA	6U Artemis 1.[74]
James Webb Space Telescope (JWST)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	NASA, ESA, CSA	на 2018 год, launch is planned for 2021.[75]
Euclid	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	ESA, NASA	на 2013 год, launch is planned in 2020.[76]
Aditya-L1	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{1}}$	ISRO	Launch planned for 2021; it will be going to a point 1.5 million kilometers away from Earth, from where it will observe the Sun constantly and study the solar corona, the region around the Sun’s surface.[77]
Demonstration and Experiment of Space Technology for INterplanetary voYage (DESTINY)	Земля — Луна ${\displaystyle L_{2}}$	JAXA	Candidate for JAXA’s next «Competitively-Chosen Medium-Sized Focused Mission», possible launch in the early 2020s.[78]
Exploration Gateway Platform	Земля — Луна ${\displaystyle L_{2}}$[79]	NASA	Проект предложен в 2011 году[80].
Wide Field Infrared Survey Telescope (WFIRST)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	NASA, USDOE	По состоянию на 2013 год находится в стадии предварительной подготовки по крайней мере до 2016 года, возможен запуск в начале 2020 годов[81]
LiteBIRD	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$[82]	JAXA, NASA	на 2015 год, one of two finalists for JAXA’s next «Strategic Large Mission»; would be launched in 2024 if selected.[83]
Planetary Transits and Oscillations of stars (PLATO)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	ESA	Запуск планируется в 2024 году. Программа рассчитана на 5 лет[84].
Space Infrared Telescope for Cosmology and Astrophysics (SPICA)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	JAXA, ESA, SRON	Запуск запланирован на 2025 год. По состоянию на 2015 г. проект ожидает одобрения как с японской, так и с европейской сторон[85].
Advanced Telescope for High Energy Astrophysics (ATHENA)	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	ESA	Запуск планируется в 2028 году[86].
Спектр-М	Солнце — Земля ${\displaystyle L_{2}}$	Роскосмос	Возможно, запуск будет осуществлён после 2027 года[87].

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке ${\displaystyle L_{3}}$ другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземлёй», которая из-за своего расположения за Солнцем была бы недоступна для прямых наблюдений. Однако из-за гравитационного влияния других планет точка ${\displaystyle L_{3}}$ в системе Солнце — Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые происходят каждые 20 месяцев, Венера находится всего в 0,3 а. е. от точки ${\displaystyle L_{3}}$ и, таким образом, оказывает сильное гравитационное влияние на её положение относительно земной орбиты.

Кроме того, из-за движения центра масс системы Солнце — Юпитер относительно Земли при движении Юпитера по своей орбите и эллиптичности земной орбиты, гипотетическая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений с Земли и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, указывающим на её существование, была бы её собственная гравитация: заметное возмущающее влияние тела размером уже порядка 150 км и более на орбиты других планет^[88].

С появлением возможности производить прямые наблюдения окрестностей этой точки с помощью космических аппаратов и зондов далеко удалённых от Земли было достоверно показано, что в этой точке нет космических объектов размером более 100 м^[89].

Точки Лагранжа довольно популярны в научно-фантастических произведениях, посвящённых освоению космоса. Авторы часто располагают в них обитаемые или автоматические станции — см., например, «Возвращение к звёздам» Эдмонда Гамильтона, «Глубина в небе» Вернора Винджа, «Нейромант» Уильяма Гибсона, «Семиевие» Нила Стивенсона, телесериал «Вавилон-5», компьютерные игры Prey, Borderlands 2, Lagrange Point^[англ.].

Иногда в точки Лагранжа фантасты помещают и более интересные объекты — мусорные свалки («Единение разумов» Чарльза Шеффилда, «Нептунова арфа» Андрея Балабухи), инопланетные артефакты («Защитник» Ларри Нивена) и даже целые планеты («Планета, с которой не возвращаются» Пола Андерсона). Айзек Азимов предлагал отправлять в точки Лагранжа радиоактивные отходы («Вид с высоты»).

• Колонизация точек Лагранжа
• Троянские астероиды
• Троянские спутники
• Либрация
• Полость Роша
• Предел Роша
• Щели Кирквуда

• Точки Лагранжа. (англ.)
• Точки Лагранжа в научной фантастике.
• Matthias Borchardt The Lagrange points in the Earth-Moon system

[ [Категория: Небесная механика]] [ [Категория: Космонавтика]]