Формулы Фруллани[нем.] относятся к нахождению несобственных интегралов Римана вида:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834a9c995c1071cad1d08d5305aabadd3646abda)
к которым с помощью элементарных преобразований, дифференцирования и интегрирования по параметру можно свести много других несобственных интегралов.
Формулы Фруллани
Первая формула Фруллани
Если
и
, то справедлива следующая формула:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx=f(0)\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}\ \ (\alpha >0,\beta >0)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168389c5b79ecc22ea2bce3b250ac8984093353c)
- Доказательство:
- Стоит отметить, что в этом и доказательствах ниже подразумевается
, а не
.
![{\displaystyle \lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}{\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx}{\Biggr )}=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}{{\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)}{x}}\,dx}-{\int \limits _{A}^{\infty }{\frac {f(\beta x)}{x}}\,dx}}{\Biggr )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c319af3ba8abe75693c7e17e18dc213a63d7fd4b)
[1] ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
![{\displaystyle =\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}F(\infty )-F(\alpha A)-F(\infty )+F(\beta A){\Biggr )}=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}F(\beta A)-F(\alpha A){\Biggr )}=\lim \limits _{A\to +0}{\Biggl (}\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(Ax)}{x}}\,dx{\Biggr )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e3eee570d44d55f36fb1ea3f7b210c0edcd426)
[2]
[3] ![{\displaystyle =\lim \limits _{A\to +0}{\biggl (}f(A\xi ){\biggr )}\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc964996c07b60ece476f3af96ef037950fd141f)
![{\displaystyle =\left\{\xi \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim \limits _{A\to +0}{A\xi }=0,f(x)\in C[0,+\infty )\Rightarrow \lim \limits _{A\to +0}{f(A\xi )=f(0)}\right\}=f(0)\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5f19280877a700bea47dbf04e0e8abb49adaa4)
Вторая формула Фруллани
Если
и
, то
справедлива следующая формула:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx=(f(0)-f(+\infty ))\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}\ \ (\alpha >0,\beta >0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bbaf3e31c23897091999fb1b32c988879caa2c)
- Доказательство:
[4]![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
[1]![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
![{\displaystyle =\lim \limits _{\epsilon \to 0,\Delta \to +\infty }{\Biggl (}F(\alpha A)-F(\alpha \epsilon )-F(\beta A)+F(\beta \epsilon )+\int \limits _{A}^{\Delta }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx{\Biggr )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0cd4babed287ecbd0ca2e629632a45f18088d1e)
![{\displaystyle =\left\{\rho {\bigl (}A,\Delta {\bigr )}<\infty ,{\frac {f(x)}{x}}\in C[A,\Delta ]\Rightarrow \int \limits _{A}^{\Delta }{\frac {f(x)}{x}}\,dx=F(\Delta )-F(A)\Rightarrow \int \limits _{A}^{\Delta }{\frac {f(\alpha x)}{x}}\,dx=F(\alpha \Delta )-F(\alpha A)\right\}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad4b1c35ee79d9cd19ec3a043bdec46d423c7d4)
![{\displaystyle =\lim \limits _{\epsilon \to +0,\Delta \to +\infty }{\Biggl (}F(\alpha A)-F(\alpha \epsilon )-F(\beta A)+F(\beta \epsilon )+F(\alpha \Delta )-F(\alpha A)-F(\beta \Delta )+F(\beta A){\Biggr )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a5d602340c59946fcfded9f741d10b23f4ef3a)
![{\displaystyle =\lim \limits _{\epsilon \to +0}{\biggl (}F(\beta \epsilon )-F(\alpha \epsilon ){\biggr )}-\lim \limits _{\Delta \to +\infty }{\biggl (}F(\beta \Delta )-F(\alpha \Delta ){\biggr )}=\lim \limits _{\epsilon \to +0}{\Biggl (}\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(\epsilon x)}{x}}\,dx{\Biggr )}-\lim \limits _{\Delta \to +\infty }{\Biggl (}\int \limits _{\alpha }^{\beta }{\frac {f(\Delta x)}{x}}\,dx{\Biggr )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b1d8ca1d03ce9c387d4d5e6876f692be3465d8)
[2]
[3] ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
![{\displaystyle =\left\{\eta ,\mu \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim \limits _{\epsilon \to +0}\epsilon \eta =0,\lim \limits _{\Delta \to +\infty }\Delta \mu =+\infty ,f(x)\in C[0,+\infty ]\Rightarrow \lim \limits _{\epsilon \to +0}f(\epsilon \eta )=f(0),\lim \limits _{\Delta \to +\infty }f(\Delta \mu )=f(+\infty )\right\}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c8fc63db219ac97fdbcba37b6ff0cff3895428)
![{\displaystyle ={\biggl (}f(0)-f(+\infty ){\biggr )}\ln {\biggl (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\biggr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765b1a0cb0169cd911010ebcdc2eb78fbf1622c7)
Третья формула Фруллани
Если
и
и
, то справедлива следующая формула:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}}\,dx=f(+\infty )\ln {\biggl (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\biggr )}\ \ (\alpha >0,\beta >0)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1d015c150e53f9bf4c9b1ddcc51cf913f50691)
Примеры
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {{\frac {\sin(\alpha x)}{\alpha x}}-{\frac {\sin(\beta x)}{\beta x}}}{x}}\,dx\,=\,\ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24c40b9fc4a6ac698079f8cd36d849b0a8b4408)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\sin \left(\alpha x+m\right)-\sin \left(\beta x+m\right)}{x}}{dx}=\sin(m)\cdot \ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff06d9a4352293c0b9d48ea17c22cf91fee094c)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos \left(\alpha x+m\right)-\cos \left(\beta x+m\right)}{x}}{dx}=\cos(m)\cdot \ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe9eca103e29d88798c0d307e121fd98b60d8b4)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {{\frac {m}{n+\alpha x}}-{\frac {m}{n+\beta x}}}{x}}\,dx\,=\,{{\frac {m}{n}}\,\ln \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4412e8ddfe9425004f32bd88eb7f9a805475a383)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\!\,{\frac {{\frac {arctg\left(-\alpha \,x\right)}{\alpha \,x}}-{\frac {arctg\left(-\beta \,x\right)}{\beta \,x}}}{x}}{dx}\,={\,\ln \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554e5c7513e89a9aa07d904024485758c90e6d57)
Примечания
См. также
Ссылки