Цилиндр
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Cylinder_geometry.svg/160px-Cylinder_geometry.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/TychoBrahePlanetarium-Copenhagen.jpg/220px-TychoBrahePlanetarium-Copenhagen.jpg)
Цили́ндр (
Связанные определения
- Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая однопараметрическим семейством параллельных прямых (называемых образующими) и проходящими через точки некоторой кривой (называемой направляющей).
- Плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями, ограничивающими цилиндр, называются основаниями этого цилиндра.
- Часть цилиндрической поверхности, находящаяся между плоскостями оснований, называется боковой поверхностью цилиндра.
- Высотой цилиндра называется отрезок, высекаемый плоскостями его оснований на прямой, перпендикулярной им, или длина этого отрезка.
Типы цилиндров
- Прямым называется цилиндр, основания которого имеют ), прямая между которыми перпендикулярна плоскостям этих оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
- Косым называется цилиндр, основания которого имеют ), отрезок между которыми не перпендикулярен плоскостям этих оснований.
- Круговым называется цилиндр с окружностью в роли направляющей.
- Цилиндром вращения, или прямым круговым цилиндром (часто под цилиндром подразумевают именно его) называется цилиндр, который можно получить вращением (то есть осью симметрии.
- Цилиндр, основания которого являются эллипсами, параболами или гиперболами, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим; последние два имеют бесконечный объём.
- Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.
- Равносторонним называется цилиндр вращения, диаметр основания которого равен его высоте[1].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Blue_cut-cylinder.gif/150px-Blue_cut-cylinder.gif)
Свойства
- Если плоскость основания цилиндра параллельна плоскости направляющей, то граница этого основания будет по форме совпадать с направляющей кривой.
Площадь поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Square_of_lateral_surface_of_cylinder.png/220px-Square_of_lateral_surface_of_cylinder.png)
Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
В частности, для прямого кругового цилиндра:
- , и , здесь и далее — радиус основания цилиндра.
Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:
Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма не существует. Для наклонного кругового цилиндра можно воспользоваться приближёнными формулами для периметра эллипса, а затем умножить полученное значение на длину образующей.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.
Для прямого кругового цилиндра:
Объём цилиндра
Для наклонного цилиндра существуют две формулы:
- Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
- ,
- Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):
- ,
- где — длина образующей, а — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра .
Для прямого цилиндра , и , и объём равен:
Для кругового цилиндра:
,
где d — диаметр основания.
Примечания
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|