Четырёхимпульс

Четырёхи́мпульс^[1][2], 4-и́мпульс — 4-вектор энергии-импульса, релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора импульса (количества движения) на четырёхмерное пространство-время. Три компонента классического вектора импульса ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ материальной точки при этом становятся тремя пространственными компонентами вектора четырёхимпульса. Временно́й компонентой вектора четырёхимпульса является (с точностью до множителя) полная энергия материальной точки. Скорость изменения четырёхимпульса, оцениваемая по собственному времени движущегося тела, называется четырёхсилой.

${\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\{\vec {p}}\end{pmatrix}}.}$

Четырёхимпульс полезен при релятивистских расчётах, поскольку он является ковариантным вектором

Квадрат вектора четырёхимпульса точечной частицы является скалярным инвариантом, равным (с точностью до множителя ${\displaystyle c^{2}}$) квадрату массы частицы:

${\displaystyle p^{2}=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=m^{2}c^{2},}$

где c — скорость света, индексы ${\displaystyle \mu ,\nu =0,...,3;\quad }$ используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Матрица g, входящая в скалярное произведение 4-вектора p на самого себя, является метрическим тензором пространства-времени. В специальной теории относительности используется метрика Минковского, особый вид матрицы ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$, отвечающий плоскому (неискривлённому) пространству-времени:

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}};}$ в этом случае ${\displaystyle m^{2}c^{2}={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}.}$

Таким образом, в СТО масса частицы не меняется при лоренцевских преобразованиях. Модуль четырёхимпульса ${\displaystyle |p|={\sqrt {p^{2}}}=mc}$ для реальных частиц всегда вещественен (поскольку квадрат модуля 4-импульса реальных частиц ${\displaystyle |p|^{2}={p^{2}}=m^{2}c^{2}}$ всегда неотрицателен). Это означает, что 4-импульс всегда времениподобен или светоподобен; его модуль мог бы быть

; квадрат модуля 4-импульса будет соответственно отрицательным, нулевым и положительным.

Отношение к четырёхскорости

Для массивной частицы 4-импульс равен произведению её массы на

четырёхскорость

${\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!,}$

где 4-скорость есть вектор

${\displaystyle U^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\begin{pmatrix}U^{0}\\U^{1}\\U^{2}\\U^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v^{x}\\\gamma v^{y}\\\gamma v^{z}\end{pmatrix}},}$

величина ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$ — это

фактор Лоренца

, а ${\displaystyle d\tau }$ —

Для применения в

${\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+qA_{\mu }\!,}$

где 4-потенциал является результатом комбинирования скалярного потенциала ${\displaystyle \varphi }$ и 3-векторного потенциала ${\displaystyle {\vec {A}}:}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varphi \\-A_{x}\\-A_{y}\\-A_{z}\end{pmatrix}}.}$

Это указывает на потенциальную энергию заряженных частиц в электростатическом потенциале и на силу Лоренца, которая управляет движением заряженных частиц в магнитном поле, давая возможность включить их в уравнение Шрёдингера.

• Интервал
• Тензор энергии-импульса

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Goldstein, Herbert. Classical mechanics. — 2nd. — Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co., 1980. — ISBN 978-0201029185.
• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (англ.). — 2nd. — Oxford: Oxford University Press, 1991. — ISBN 978-0-19-853952-0.
• Sard, R. D. Relativistic Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics (англ.). — New York: W. A. Benjamin^[англ.], 1970. — ISBN 978-0805384918.

• Lewis, G. N.; Tolman, R. C. The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics (англ.) //
  doi:10.1080/14786441008636725
  .