Четырёхсила , 4-сила — 4-вектор силы, релятивистское обобщение трёхмерного вектора силы классической механики на четырёхмерное пространство-время .
Определение
4-сила
Φ
{\displaystyle \Phi }
есть скорость изменения 4-импульса
P
{\displaystyle P}
, оценённая в течение собственного времени движущегося тела[1] .
Φ
μ
=
(
d
P
0
d
τ
d
P
x
d
τ
d
P
y
d
τ
d
P
z
d
τ
)
=
(
1
1
−
v
2
c
2
d
d
t
m
c
1
−
v
2
c
2
1
1
−
v
2
c
2
d
d
t
m
v
x
1
−
v
2
c
2
1
1
−
v
2
c
2
d
d
t
m
v
y
1
−
v
2
c
2
1
1
−
v
2
c
2
d
d
t
m
v
z
1
−
v
2
c
2
)
.
{\displaystyle \Phi ^{\mu }={\begin{pmatrix}{\frac {dP_{0}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{x}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{y}}{d\tau }}\\{\frac {dP_{z}}{d\tau }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mc}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {mv_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{pmatrix}}.}
Преобразование Лоренца
Представим 4-силу в виде:
Φ
μ
=
(
F
v
c
1
−
v
2
c
2
F
x
c
1
−
v
2
c
2
F
y
c
1
−
v
2
c
2
F
z
c
1
−
v
2
c
2
)
.
{\displaystyle \Phi ^{\mu }={\begin{pmatrix}{\frac {Fv}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{x}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{y}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\\{\frac {F_{z}}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\end{pmatrix}}.}
Здесь
F
=
d
d
t
m
v
1
−
v
2
c
2
{\displaystyle F={\frac {d}{dt}}{\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
- релятивистская 3-сила,
F
v
{\displaystyle Fv}
- её мощность. В системе отсчета, движущейся со скоростью V относительно исходной системы отсчета в направлении оси x величины преобразуются следующим образом[2] :
F
′
v
′
=
F
v
−
V
F
x
1
−
V
v
x
c
2
{\displaystyle F'v'={\frac {Fv-VF_{x}}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}
F
x
′
=
F
x
−
V
c
2
F
v
1
−
V
v
x
c
2
{\displaystyle F'_{x}={\frac {F_{x}-{\frac {V}{c^{2}}}Fv}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}
F
y
′
=
F
y
1
−
V
2
c
2
1
−
V
v
x
c
2
{\displaystyle F'_{y}=F_{y}{\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}
F
z
′
=
F
z
1
−
V
2
c
2
1
−
V
v
x
c
2
{\displaystyle F'_{z}=F_{z}{\frac {\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {Vv_{x}}{c^{2}}}}}}
См. также
Примечания
Литература