Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера . Данная группа естественным образом изоморфна группе
пространство
).
Обозначается иногда как или в связи с тем, что квадрат этой группы представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп , не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.
упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: ) или просто «окружность» ( или ).
Некоторые свойства
Группа
связной
группой Ли.
В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную .
Группа не является
односвязной
.
Элементарное толкование
Сложение углов: 150° + 270° = 60°
Элементы группы фактически определяют величину угла: комплексное число группы можно записать как (причём будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов всей плоскости вокруг начала координат.
Углы, различающиеся на целое число оборотов (, если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на и будет равна нулю. Таким образом, группа изоморфна факторгруппе группы вещественных чисел по модулю . Если измерять угол в оборотах (), то — группа дробных частей вещественных чисел.
Применение
Группа является важнейшим объектом в теории
комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение
вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность