Додекаэдра́льное число́ — разновидность многогранных
додекаэдром . Общая формула
[1] для
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
-го по порядку додекаэдрального числа
![{\displaystyle D_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe03857347bf517e7fbda4085b0dafd6018cf18)
:
![{\displaystyle D_{n}=n{\frac {(3n-1)(3n-2)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec198b8f23f44463849fae0f76b1571c13278e60)
Первые из додекаэдральных чисел (последовательность A006566 в OEIS):
![{\displaystyle 1,20,84,220,455,816,1330,2024,2925,4060\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108d4fcd45c76497d41b9e9ad353a1cdcac7c0e4)
Рекуррентная формула[1]:
![{\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+{\frac {27n^{2}-45n+20}{2}};\quad D_{1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df715cf22efe7f126b796a53ae8d99d881c37118)
Производящая функция последовательности[1]:
![{\displaystyle {\frac {x(1+16x+10x^{2})}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}x^{n};\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646207f0683295e4a92eafecbcff4f77826ad2b6)
Связь с тетраэдральными числами[1]
:
![{\displaystyle D_{n}=\mathbb {T} _{n}+16\mathbb {T} _{n-1}+10\mathbb {T} _{n-2}\quad (n>2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25daf49fcea75947346f3ef56c4dc5424bd2aa4)
Из общей формулы видно, что додекаэдральное число всегда составное (делится на
).
Примечания
Литература