Лемма Шрайера
Лемма Шрайера — теорема из теории групп, использующаяся в
алгоритме Шрайера-Симса. Теорема была доказана Отто Шрайером в 1927 году[1]
.
Из теоремы следует, что у
конечно порождённой группы любая подгруппа с конечным индексом также является конечно порождённой[2]
.
Формулировка
Пусть — некоторая подгруппа конечно порождённой группы с порождающим множеством , то есть, .
Пусть —
смежных классов
. Обозначим через представителя смежного класса, в котором содержится .
В таких обозначениях подгруппа порождена множеством .
Доказательство
![]() | Этот раздел исправив и дополнив его. |
Формулировка для орбит
В
алгоритме Шрайера — Симса
теорема применяется для специфического случая когда действует на множестве и является стабилизатором некоторого элемента .
Между элементами орбиты и трансверсалью есть взаимо-однозначное соответствие. А именно, все элементы одного смежного класса переводят в один и тот же элемент орбиты.
Поэтому обозначим через элемент , который переводит в , то есть, . В таких обозначениях лемму можно записать следующим образом: .
См. также
- Алгоритм Шрайера — Симса
Примечания
- .
- ↑ Hall, Marshall 1910-1990 Verfasser. The Theory of Groups. — ISBN 9780486816906, 0486816907.