Модель Рамсея — Касса — Купманса

Производственную функцию ${\displaystyle Y=f(K,LE)=f({\hat {k}})LE}$ можно записать через удельные показатели: ${\displaystyle {\hat {y}}=f({\hat {k}})}$. Задача фирмы состоит в максимизации прибыли ${\displaystyle \pi }$^[28]:

${\displaystyle \pi =f(K_{t},L_{t}E_{t})-(r+\delta )K_{t}-wL_{t}=L_{t}E_{t}{\biggl (}f({\hat {k_{t}}})-(r+\delta ){\hat {k_{t}}}-{\frac {w}{E_{t}}}{\biggr )}\rightarrow \max }$

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам^[15][28]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=f'({\hat {k_{t}}})=r_{t}+\delta }$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=(f({\hat {k_{t}}})-{\hat {k_{t}}}f'({\hat {k_{t}}}))e^{gt}=w_{t}}$.

Учитывая, что ${\displaystyle a=k}$, подставив полученные из решения задачи фирмы значения ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle w}$ в уравнение динамики активов, получим^[29]:

${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}}$.

Поскольку ${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {\dot {c}}{c}}-g}$^[30], решение задачи потребителя можно записать в следующем виде^[31]:

${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho -g\theta )={\frac {1}{\theta }}(f'({\hat {k_{t}}})-\delta -\rho -\theta g{\biggr )}}$.

В стационарном состоянии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}={\dot {\hat {k}}}={\dot {\hat {y}}}=0}$. Откуда, получаем, что ${\displaystyle f'({\hat {k_{t}}})=\delta +\rho +\theta g}$. В итоге, устойчивое состояние описывается системой уравнений^[30][29]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {c}}^{*}=f({\hat {k}}^{*})-(\delta +n+g){\hat {k}}^{*},\\f'({\hat {k}}^{*})=\delta +\rho +\theta g,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle {\hat {c}}^{*}}$ — потребление, а ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии.

По условию трансверсальности^[29]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\biggl (}{\hat {k}}_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}({f'({\hat {k}}_{\nu })-\delta -g-n})d\nu }{\biggr )}=0}$,

откуда следует что ${\displaystyle f'({\hat {k}})>\delta +n+g}$. С учетом уравнения для ${\displaystyle {\frac {\dot {\hat {c}}}{\hat {c}}}}$, это условие означает, что для существование устойчивого состояния необходимо, чтобы ${\displaystyle \rho +\theta g>g+n}$. Также это означает, что в модели Рамсея — Касса — Купманса накопление капитала ниже, чем уровень максимизирующий потребление (модифицированное Золотое правило: ${\displaystyle {\frac {\partial f({\hat {k}}^{**})}{\partial k}}=\delta +n+g}$, где ${\displaystyle {\hat {k}}^{**}}$ — капиталовооружённость на единицу эффективного труда, соответствующая Золотому правилу), а значит, невозможна динамическая неэффективность в виде избыточного накопления капитала^[32][33].

Достижение равновесия в модели можно проиллюстрировать при помощи фазовой плоскости. Линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ и ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ делят диаграмму на четыре квадранта. Слева от линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ траектория капиталовооружённости идет вверх, а справа от линии ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}=0}$ — вниз. Выше линии ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ траектория капиталовооружённости идет влево, а ниже линии ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ — вправо. Таким образом, в квадранте I траектория идет влево и вверх, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — вправо и вниз, в квадранте IV — вправо и вверх. В итоге, в модели существует только одна траектория, ведущая к равновесию — зеленая линия на иллюстрации. На этой линии расположено множество точек ${\displaystyle {\hat {c}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\hat {k}}_{0}}$, из которых система приходит в устойчивое состояние. Варианты траектории из других точек показаны красным, в этом случае в конечном итоге становится равной нулю либо капиталовооружённость (${\displaystyle {\hat {k}}=0}$), либо потребление (${\displaystyle {\hat {c}}=0}$)^[34]. Поскольку оптимальная траектория капиталовооружённости в модели имеет вид седла, её также называют «седловой путь»^[35].

Динамика нормы сбережений по мере приближения к равновесному состоянию также показана на иллюстрации.

В рассматриваемой модели равновесия для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы^[36].

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости ${\displaystyle k}$, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации посредством разложения в ряд Тейлора дифференциальных уравнений для ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}}$ и ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}}$^[37]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k_{t}}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {c}}}}{\partial {\hat {c_{t}}}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx {\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {k_{t}}}}}\vert _{{\hat {k}}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})+{\frac {\partial {\dot {\hat {k}}}}{\partial {\hat {c}}_{t}}}\vert _{{\hat {c_{t}}}={\hat {c}}^{*}}({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}}$

Из условий устойчивости следует, что угловой коэффициент у второго слагаемого (${\displaystyle c_{t}-{\hat {c}}^{*}}$) во втором уравнении равен -1, а в первом — 0. Используя уравнения устойчивого состояния, можно записать линейные аппроксимации в следующем виде^[38]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\hat {c}}}\approx {\frac {f''({\hat {k}}^{*}){\hat {c}}}{\theta }}({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*}),\\{\dot {\hat {k}}}\approx (\rho +\theta g-g)({\hat {k_{t}}}-{\hat {k}}^{*})-({\hat {c_{t}}}-{\hat {c}}^{*}).\end{cases}}}$

Решение этой системы уравнений имеет вид^[38]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*}=({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})e^{\mu t},\\{\hat {c}}_{t}-{\hat {c}}^{*}=({\hat {c}}_{0}-{\hat {c}}^{*})e^{\mu t},\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Расчеты скорости конвергенции по модели Рамсея — Касса — Купманса с использованием параметров, близких к параметрам экономики США, предсказывают высокую скорость конвергенции, не наблюдаемую на реальных данных^[39].

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. Предполагается, что величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. В этом случае уравнение для ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}}$ примет следующий вид^[40]:

${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=f({\hat {k_{t}}})-{\hat {c}}-{\hat {G}}-(\delta +n+g){\hat {k_{t}}}}$,

где ${\displaystyle {\hat {G}}}$ — величина государственных расходов на единицу труда с постоянной эффективностью.

В результате фискальной политики кривая ${\displaystyle {\dot {\hat {k}}}=0}$ сдвигается вниз на величину ${\displaystyle {\hat {G}}}$ и равновесие в модели устанавливается на прежнем уровне капиталовооружённости, но потребление снизится на величину ${\displaystyle {\hat {G}}}$. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют потребление^[41].

Влияние фискальной политики на равновесие проиллюстрировано при помощи фазовой плоскости.

Наиболее важный вклад модели Рамсея — Касса — Купманса состоит в том, что она раскрыла механизм формирования нормы сбережений через решения потребителей, а также стала основой для дальнейшего анализа того, как решения индивидов формируют накопления физического и человеческого капитала, и как следствие, научно-технический прогресс. Это стало большим шагом вперёд по сравнению с моделью Солоу, и во многом по этой причине модель стала отправной точкой для многих исследователей, которые использовали её концептуальный и математический аппарат для построения своих моделей^[42]. Неоклассическая модель экономического роста рассматривается во всех современных учебниках макроэкономики и теории экономического роста^[43].

Оптимальная динамика потребления из модели (правило Кейнса — Рамсея) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста, где в качестве экономического агента выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство): в

Включение в модель внешних эффектов от уровня физического и человеческого капитала (для чего в некоторых случаях пришлось отказаться от 2, 3 и 4 предпосылки неоклассической производственной функции) привело к развитию АК-моделей^[44].

Мигель Сидрауски добавил в модель денежную массу, чтобы проанализировать влияние денежной эмиссии и инфляции на реальные показатели в экономике. В итоге в расширенной модели равновесие получилось таким же, как и в модели без денежной массы, что означает отсутствие влияния предложения денег на реальные показатели. Полученное свойство было названо нейтральностью денег^[45].

В качестве недостатка модели некоторые исследователи указывали бесконечно живущего индивида (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя^[46]. По мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит^[47]. Этот факт был отражен в модели пересекающихся поколений, которая полностью отрицает альтруистические связи между поколениями^[48][46].

Вместе с тем, модель не внесла существенного вклада в понимание причин межстрановых различий в уровне

В модели невозможна динамическая неэффективность, решения для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы, а значит невозможно неоптимальное по Парето равновесие в экономике, потому модель не показывает, как неправильная экономическая политика или ограничивающие социальные институты могут замедлить развитие страны. Другими словами, модель не объясняет причин, по которым бедные страны остаются бедными и не могут догнать богатые^[43].

• Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9
  .
• Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4
  .
• Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5
  .
• Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М.: Изд. дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Cass D.^[англ.]. Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation // The Review of Economic Studies^[англ.]. — 1965. — Vol. 32, № 3. — P. 233—240.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review^[англ.]. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154. — JSTOR 1807174.
• doi:10.3386/w5812
  .
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour //
  The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — London: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8
  .
• Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University, Discussion Paper. — 1963. — № 163.
• Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta varia //The Econometric Approach to Development Planning - Part I. — 1965. — Vol. 28. — P. 225—300.
• The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — London: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 11172—11178. — ISBN 978-1-349-95188-8
  .
• Ramsey F. P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal^[англ.]. — 1928. — Vol. 38, № 152. — P. 543—559.
• doi:10.3386/w3173
  .
• Sidrauski M. Rational Choice and Patterns of Growth in a Monetary Economy (англ.) // The American Economic Review^[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 57, no. 2. — P. 534—544.
• Spear S. E., Young W. Optimum savings and optimal growth: Ramsey — Mavlinvaud — Koopmans nexus //
  doi:10.1017/S1365100513000291
  .

Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии.