Операция (математика)

Опера́ция —

Термин «операция», в математике, как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображениям множества на себя, имеющим интересные для исследований свойства.

Операция ${\displaystyle f}$ — отображение, областью определения которого является

${\displaystyle f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A} _{n}\to B}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle n}$

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является её областью определения. Например, операция может быть унарная, если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная, если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

Алгебраической операцией называется операция ${\displaystyle f}$, у которой область определения равна ${\displaystyle n}$-й декартовой степени некоторого множества ${\displaystyle A,}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ — арность, а область значений равна этому множеству ${\displaystyle A,}$ то есть ${\displaystyle f\colon A^{n}\to A}$^[2].

Операции могут обладать или не обладать различными свойствами. Например:

• коммутативность
  (переместительное свойство) — свойство операции «${\displaystyle \circ }$», когда ${\displaystyle a\circ b=b\circ a;}$
• антикоммутативность — например, операция вычитания, потому что ${\displaystyle a-b=-(b-a);}$
• ассоциативность (сочетательное свойство) — свойство операции «${\displaystyle \circ }$», когда ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);}$
• дистрибутивность (распределительное свойство) — например, операция умножения относительно сложения, так как ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;}$
• идемпотентность — если повторная операция уже не изменяет объект, например взятие по модулю: ${\displaystyle |x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots }$

В совокупности коммутативность и антикоммутативность не исчерпывают свойства всех возможных операций: например, возведение в степень не является коммутативной операцией, так как, например, ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2},}$ но в то же время не является антикоммутативной: к примеру, ${\displaystyle 2^{4}\neq {\color {Red}-}4^{2}.}$

Арифметические операции
Сложение (+)
1-е слагаемое + 2-е слагаемое =	сумма
Вычитание (−)
вычитаемое =	разность
Умножение (×)
1-й множитель × 2-й множитель =	произведение
Деление (:)
делитель =	частное
Деление с остатком (mod)
делитель =	остаток от деления
Возведение в степень (^)
${\displaystyle {\text{основание}}^{\text{показатель степени}}}$ =	степень
Извлечение корня (√)
${\displaystyle {\sqrt[{\text{показатель}}]{\text{число}}}}$ =	корень
Логарифм (log)
${\displaystyle \log _{\text{основание}}}$(число) =	логарифм

• Сложение — бинарная операция, например ${\displaystyle 2+7=9}$.
• Вычитание — обратная сложению операция, например ${\displaystyle 9-7=2}$.
• Умножение — гипероперация сложения, например ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$.
• Деление — обратная умножению операция, например ${\displaystyle 6:3=2}$.
• Возведение в степень — гипероперация умножения, например ${\displaystyle 2^{3}=8}$.
• Извлечение корня — обратная возведению в степень операция, например ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$.
• Логарифмирование — вторая обратная возведению в степень операция, например ${\displaystyle \log _{2}8=3}$.
• Тетрация — гипероперация возведения в степень, например ${\displaystyle ^{3}2=2^{2^{2}}=16}$.
• Суперкорень и суперлогарифм — обратные операции тетрации.

Сложение и вычитание являются элементарными арифметическими операциями. Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций. Так, сложение и вычитание относят к операциям первой ступени; умножение и деление — к операциям второй ступени; возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование — к операциям третьей ступени; тетрация и её обратные операции являются редко используемыми операциями четвёртой ступени, однако такое гипероперирование можно продолжать бесконечно, вплоть до операций 5-й, 6-й и высших ступеней.

• Дифференцирование — нахождение производной функции, например ${\displaystyle (x^{2})'=2x}$.
• Интегрирование — обратно дифференцированию; нахождение первообразной
  функции, например ${\displaystyle \int 2xdx=x^{2}+C}$.

Логические операции — операции над элементами из множества двух элементов: «истина» и «ложь», или «1» и «0».

• Отрицание (${\displaystyle \neg A}$) — унарная операция; преобразует «1» в «0», а «0» в «1».
• Конъюнкция (${\displaystyle A\And B}$) — бинарная операция; возвращает «1», только если оба аргумента «1».
• Дизъюнкция (${\displaystyle A\lor B}$) — бинарная операция; возвращает «0», только если оба аргумента «0».

• Исследование операций
• Гипероператор

	В Викисловаре есть статья «операция»

Ссылки

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.