Проектор (математика)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Orthogonal_projection.svg/252px-Orthogonal_projection.svg.png)
В
Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.
В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства и пространства , что раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов имеем . Подпространства и — соответственно
В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства пространства , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с .
Свойства проекционных операторов
- Пусть — тождественный оператор. Если — проектор, то тоже проектор, причём и .
- В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
- Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: .
- собственными подпространствамипроектора будут его ядро и образ.
Комбинации проекторов
Пусть и — проекторы, заданные на векторном пространстве , и проецирующие на подпространства и соответственно. Тогда
- — проектор на подпространстве , в том и только том случае, когда .
- является проектором тогда и только тогда, когда . проецирует на подпространство .
- Если , то — проектор на подпространство .
Примеры
- Ортогональная проекция (см. ниже) точек пространства наплоскостьзадаётся матрицей
Действует на точки она следующим образом:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Oblique_projection.svg/252px-Oblique_projection.svg.png)
- Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:
Легко показать, что это действительно проектор:
Проекция, задаваемая , ортогональна, тогда и только тогда, когда .
Ортогональный проектор
Если пространство — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.
Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства и ортогональны друг другу, иными словами, когда , или , или . В этом случае проекция элемента является ближайшим к нему элементом пространства .
Литература
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Физматгиз, 1963. — 264 с.
Для улучшения этой статьи желательно:
|