Симплекс

Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр (от

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это

Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин ${\displaystyle A_{i}}$:

${\displaystyle \Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.}$

• Открытым симплексом называется множество всевозможных
  замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса)^[1][3]
  .
• Остовом симплекса называется множество всех его вершин[4].
• Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершины^[5].
• Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса^[6].
• Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой
  чётной перестановкой вершин, задают одну и ту же ориентацию (под ориентированным 0-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»)^[6][7]
  .
• Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину^[8].

Стандартный n-симплекс — это подмножество

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.}$

Его вершинами являются точки^[9]

e₀ = (1, 0, …, 0),

e₁ = (0, 1, …, 0),

…

e_n = (0, 0, …, 1).

Существует

${\displaystyle (v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})}$

${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.}$

Значения ${\displaystyle t_{i}}$ для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатами^[3].

• n-мерный симплекс имеет ${\displaystyle n+1}$ вершин, любые ${\displaystyle k+1}$ из которых образуют k-мерную грань.
  • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{k+1}}.}$
  • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно ${\displaystyle n+1}$.
• Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле

  ${\displaystyle V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0}).}$

  • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:

    ${\displaystyle V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}},}$

где ${\displaystyle d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|}$ — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

• Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен ${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}}$.

• Радиус ${\displaystyle R}$ описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению

  ${\displaystyle (R\cdot V)^{2}=T,}$

где ${\displaystyle V}$ — объём симплекса, и

${\displaystyle T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}.}$

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранника^[10].

Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры^[11]:

• 0-симплекс (точка) — 1 вершина;
• 1-симплекс (отрезок) — 2 вершины;
• 2-симплекс (треугольник) — 3 вершины;
• 3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
2. Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
3. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.

Доказательство

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудалённые от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s₀ радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок АВ был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s₀, то, увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С, можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s₀, то подогнать окружность под эту точку можно, увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками А и В. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно отрезка АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n − 1)-сфера S_n−1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}.\qquad (1)}$

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h_S) и радиусом R, причём

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.}$

Уравнение этой сферы

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}-h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},}$

или

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}-x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)}$

Подставив в уравнение (2) x_n = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом h_S сфера S_n−1 является подмножеством сферы S_n, а именно — её сечением плоскостью x_n = 0.

Предположим, что точка С имеет

координаты (x₁, x₂, x₃, ..., x_n ). Преобразуем уравнение

(2) к виду

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}}$

и подставим в него координаты точки С:

${\displaystyle X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.}$

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R_C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

${\displaystyle R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},}$

откуда можно выразить параметр h_S:

${\displaystyle h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.}$

Очевидно, что h_S существует при любых R_C, X_n и r, кроме X_n = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S_n−1, всегда можно найти такой параметр h_S, что на сфере S_n c центром (0, 0, 0, ..., h_S) будут лежать и сфера S_n−1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n + 1 точек можно описать n-сферу, если n из этих точек лежат на одной (n − 1)-сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n − 1)-плоскости.

Рассуждая по индукции, можно утверждать, что n-сферу можно описать вокруг любых n + 1 точек, если они не лежат в одной (n − 1)-плоскости.

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса

${\displaystyle K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},}$

где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — число сочетаний из n по k.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

${\displaystyle K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.}$

Для правильного n-мерного симплекса обозначим:

• ${\displaystyle a}$ — длина стороны;
• ${\displaystyle H_{n}}$ — высота;
• ${\displaystyle V_{n}}$ — объём;
• ${\displaystyle R_{n}}$ — радиус описанной сферы;
• ${\displaystyle r_{n}}$ — радиус вписанной сферы;
• ${\displaystyle \alpha _{n}}$ — двугранный угол.

Тогда

• ${\displaystyle H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}}$
• ${\displaystyle V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}}$
• ${\displaystyle R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$
• ${\displaystyle r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}}$
• ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{n}}}$ ^[8]
• ${\displaystyle R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n+1}}}$
• ${\displaystyle a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}}$
• ${\displaystyle V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}}$
• ${\displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}}$

Число L-мерных граней	${\displaystyle K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}}$
Высота	${\displaystyle H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}}$	${\displaystyle H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}}$	${\displaystyle H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}}$	${\displaystyle H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}}$
Объём	${\displaystyle V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}}$	${\displaystyle V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}}$	${\displaystyle V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}$	${\displaystyle V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}}$	${\displaystyle V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}}$
Радиус описанной сферы	${\displaystyle R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$	${\displaystyle a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n}}}}$	${\displaystyle R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}}$	${\displaystyle R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}}$
Радиус вписанной сферы	${\displaystyle r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}}$	${\displaystyle r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}}$	${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}}$	${\displaystyle r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}}$	${\displaystyle r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}}$
Двугранный угол	${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{n}}}$

Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства)^[12].

• ГИТТЛ
  , 1947. — 660 с.
• П. С. Александров. Лекции по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1968. — 912 с.
• П. С. Александров, Б. А. Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с.
• В. Г. Болтянский . Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Наука, 1973. — 448 с.
• А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• ГИТТЛ
  , 1947. — 142 с. — С. 23—31.