Определение. Пусть — ортонормированный базис в , тогда разложение функции по базисам пространств называется многомасштабным анализом в .
Определение. Если является последовательностью пространств многомасштабного анализа в , функция порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.
Определение материнской вейвлет-функции
Пусть последовательность пространств является последовательностью пространств многомасштабного анализа в . Определим пространство как дополнение пространства до пространства , то есть .
Тогда
,
или же:
.
Построим материнскую вейвлет-функцию ортогональную скейлинг-функции . В результате получим набор функций — базис в пространстве .
Вейвлет-разложение
Таким образом, согласно (1) и определению функций и как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция может быть разложена в сходящийся в ряд:
при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:
Коэффициенты дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты содержат информацию о деталях общей формы.
Уровень разложения задается числом пространств используемых для анализа.
Функция
Утверждение. Пространства являются вложенными , при условии, что существует — периодическая функция такая, что
,
где —
Фурье-образ
функции (доказательство см.
2
).
Лемма 0.Система функций является ортонормированной в тогда и только тогда, когда
. (3)
Лемма 1. Положим, что представляет собой ортонормированный базис в . Тогда для любой -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:
. (4)
Лемма 2.В том случае, если представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как — -периодическую функцию из , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа
,
где
— вейвлет-функция. (6)
Таким образом, скейлинг-функция и материнская вейвлет-функция определяются -периодической функцией согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие
.
Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты
Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей -периодической функцией, но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.
Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.
Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию :
где —
тригонометрический полином
. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:
Или в частотной области:
Условие подразумевает .
Если существует некоторое число , тогда, согласно работе [2] рассматриваемая функция для койфлетов может быть представлена в виде:
где
(7)
— тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:
.
Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома в виде (7), называются койфлетами уровня .
Преимущества и применение койфлетов
Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.