Однородный звёздчатый многогранник

Однородный звёздчатый многогранник — самопересекающийся однородный многогранник. Эти многогранники называются также невыпуклыми многогранниками, подчёркивая самопересечение. Каждый многогранник может содержать грани в виде

Полный набор 57 непризматических однородных звёздчатых многогранников включает 4 правильных, называемых телами Кеплера — Пуансо, 5 квазиправильных, и 48 полуправильных.

Существует также два бесконечных множества однородных звёздчатых призм и антипризм.

Так же, как (невырожденные)

Невыпуклые формы конструируются из треугольников Шварца.

Все треугольники, перечисленные ниже, сгруппированы по их группам симметрии, а внутри сгруппированы по расположению вершин.

Правильные многогранники помечены их символами Шлефли. Другие, неправильные однородные многогранники снабжены их вершинной конфигурацией или их номером однородного многогранника (Uniform polyhedron index, U(1-80)).

Примечание: Для невыпуклых форм ниже приводится дополнительное описание Неоднородный, когда выпуклая оболочка набора вершин^[англ.] имеет ту же топологию, но имеет неправильные грани. Например, неоднородное скашивание (удаление рёбер) может дать прямоугольники на местах удалённых рёбер, а не квадраты.

См. Призматический однородный многогранник.

Существует один невыпуклый вид,

Существует два треугольника Шварца, из которых образуются уникальные невыпуклые однородные многогранники — прямоугольный треугольник (3/2 3 2) и один треугольник общего вида (3/2 3 3). Треугольник (3/2 3 3) генерирует октагемиоктаэдр^[англ.], который приведён ниже в разделе октаэдральной симметрии^[англ.].

Расположение вершин[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Тетраэдр
Спрямлённый тетраэдр Октаэдр	(4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2
Усечённый тетраэдр
Скошенный тетраэдр (Кубооктаэдр)
Всеусечённый тетраэдр (Усечённый октаэдр)
Плосконосый тетраэдр (Икосаэдр)

Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых с

(4 3 2)).

Существует четыре треугольника Шварца, которые образуют невыпуклые формы, два прямоугольных, (3/2 4 2) и (4/3 3 2), и два общего вида, (4/3 4 3) и (3/2 4 4).

Расположение вершин[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Куб
Октаэдр
Кубооктаэдр	(6.4/3.6.4)[англ.] 4/3 4 | 3	(6.3/2.6.3)[англ.] 3/2 3 | 3
Усечённый куб	4.8/3.4/3.8/5)  2 4/3 (3/2 4/2)  |	(8/3.3.8/3.4)[англ.] 3 4 | 4/3	(4.3/2.4.4)[англ.] 3/2 4 | 2
Усечённый октаэдр
Ромбокубооктаэдр	(4.8.4/3.8)[англ.] 2 4 (3/2 4/2) |	(8.3/2.8.4)[англ.] 3/2 4 | 4	(8/3.8/3.3)[англ.] 2 3 | 4/3
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр	(4.6.8/3)[англ.] 2 3 4/3 |
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр	(8/3.6.8)[англ.] 3 4 4/3 |
Плосконосый куб

Икосаэдральная симметрия

Имеется 8 выпуклых форми и 46 невыпуклых с

треугольник Мёбиуса

(5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включать фигуру Скиллинга). Некоторые невыпуклые плосконосые виды имеют зеркальную вершинную симметрию.

Расположение вершин[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Икосаэдр	{5,5/2}	{5/2,5}	{3,5/2}
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3	U37[англ.] 2 5/2 | 5	U61[англ.] 5/2 3 | 5/3	U67[англ.] 5/3 3 | 2	U73[англ.] 2 5/3 (3/2 5/4) |
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3	U38[англ.] 5/2 5 | 2	U44[англ.] 5/3 5 | 3	U56[англ.] 2 3 (5/4 5/2) |
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3	U32[англ.] | 5/2 3 3
Икосододекаэдр 2 | 3 5	U49[англ.] 3/2 3 | 5	U51[англ.] 5/4 5 | 5	U54 2 | 3 5/2	U70[англ.] 5/3 5/2 | 5/3	U71[англ.] 3 3 | 5/3	U36 2 | 5 5/2	U62[англ.] 5/3 5/2 | 3	U65[англ.] 5/4 5 | 3
Усечённый додекаэдр 2 3 | 5	U42[англ.]	U48[англ.]	U63[англ.]
Неоднородный усечённый додекаэдр	U72[англ.]
Додекаэдр	{5/2,3}	U30[англ.]	U41[англ.]	U47[англ.]
Ромбоикосододекаэдр	U33[англ.]	U39[англ.]	U58[англ.]
Додекаэдр со снятыми кромками	U55[англ.]
Неоднородный Ромбоикосододекаэдр	U31[англ.]	U43[англ.]	U50[англ.]	U66[англ.]
Неоднородный ромбоикосододекаэдр	U75[англ.]	U64[англ.]	Тело Скиллинга[англ.] (см. ниже)
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U45[англ.]
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U59[англ.]
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U68[англ.]
Неоднородный Плосконосый додекаэдр	U40[англ.]	U46[англ.]	U57[англ.]	U69	U60[англ.]	U74

Тело Скиллинга

Ещё одним невыпуклым многогранником является большой биплосконосый биромбододекаэдр^[англ.], известный также как тело Скиллинга, которое вершинно однородно, но имеет разделяемые общие для граней пары рёбер, так что четыре грани имеют одно общее ребро. Иногда его причисляют к однородным многогранникам, но не всегда. Тело имеет симметрию I_h.

Вырожденные случаи

Коксетер с помощью построения Витхоффа определил некоторое число вырожденных звёздчатых многогранников, которые имеют перекрывающиеся рёбра или вершины. Эти вырожденные формы включают:

• Малый составной икосододекаэдр^[англ.]
• Большой составной икосододекаэдр^[англ.]
• Малый составной ромбоикосододекаэдр^[англ.]
• Составной ромбододекододекаэдр^[англ.]
• Большой составной ромбоикосододекаэдр^[англ.]

См. также

• Звёздчатый многоугольник
• Список однородных многогранников
• Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца

Примечания

Литература

• H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401–450. —
  doi:10.1098/rsta.1954.0003. — JSTOR 91532
  .
• М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
• M. Brückner. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. — Leipzig, Germany: Teubner, 1900.
• С.П. Сопов. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник. — 1970. — Вып. 8. — С. 139–156.
• J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278. — С. 111–135. —
  doi:10.1098/rsta.1975.0022. — JSTOR 74475
  .
• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
• R. E. Mäder. Uniform Polyhedra // Mathematica. — 1993. — Вып. 3. — С. 48-57. [1] Архивная копия от 7 сентября 2015 на Wayback Machine
• Peter W. Messer. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals // Discrete & Computational Geometry. — 2002. — Вып. 27. — С. 353-375.
• Richard Klitzing, 3D, uniform polyhedra Архивная копия от 23 октября 2015 на Wayback Machine

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Uniform Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.