Числовая функция
Числова́я фу́нкция (в
В самом общем случае, числовая функция — это функция, принимающая значения в области вещественных чисел и которая задана на произвольном (чаще всего)
Числовые функции, заданные на множестве вещественных или комплексных чисел называются функциями соответственно вещественного или комплексного переменного и являются предметом рассмотрения в анализе:
- вещественнозначные функции вещественного переменного рассматриваются в математическом анализе,
- комплекснозначные функции комплексного переменного рассматриваются в комплексном анализе.
Важнейший предмет рассмотрения в анализе — представление числовых функций в виде системы приближений (числовых и функциональных рядов).
Числовые функции обладают как общими свойствами, которыми могут обладать отображения произвольных метрических пространств (например, непрерывность), так и рядом свойств, непосредственно связанных с природой числовых пространств. Таковы свойства
- дифференцируемости, интегрируемости, суммируемости, измеримости (для произвольных числовых функций);
а, также, свойства
- чётности (нечётности), монотонности (для вещественнозначных функций вещественного переменного);
- аналитичности, многолистности (для комплекснозначных функций комплексного переменного).
Числовые функции широко используются на практике при решении прикладных задач.
Свойства
Свойства, связанные с отношением порядка
Пусть дана функция Тогда
- функция называется возраста́ющей на , если
- функция называется стро́го возраста́ющей на , если
- функция называется убыва́ющей на , если
- функция называется стро́го убыва́ющей на , если
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Периодичность
Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо
- .
Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.
Чётность
- Функция называется нечётной, если справедливо равенство
- Функция называется чётной, если справедливо равенство
Экстремумы функции
Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения Тогда
- называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
- называется точкой абсолютного минимума, если
График функции
- Пусть дано отображение . Тогда его гра́фиком называется множество
,
где обозначаетдекартово произведение множестви .- Графиком непрерывной функции является кривая на двумерной плоскости.
- Графиком непрерывной функции является поверхность в трёхмерном пространстве.
Примеры
- Функция Дирихле
- Возвращает ноль.
- Область определения: (вся числовая ось).
- Область значений: .
- Возвращает
- Функция sgn(x)
- Возвращает знак аргумента.
- Область определения: .
- Область значений: .
- Возвращает знак аргумента.
-
- Область определения: .
- Область значений: .
- Факториал
- Возвращает произведение всех натуральных чисел, не больших данного. Кроме того, .
- Область определения: (множество натуральных чисел с нулём).
- Область значений:
- Возвращает произведение всех натуральных чисел, не больших данного. Кроме того, .
- Антье (пол)
- Возвращает целую часть числа.
- Область определения: .
- Область значений: .
- Возвращает целую часть числа.
Способы задания функции
Словесный | С помощью естественного языка | Игрек равно целая часть от икс. | ||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Аналитический | С помощью формулы и стандартных обозначений | |||||||||||||||||||||||
Графический | С помощью графика | |||||||||||||||||||||||
Табличный | С помощью таблицы значений |
|
Аналитический способ
Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде. Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.
Примеры:
- ;
- ;
- ;
Табличный способ
Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:
Графический способ
Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.
Рекурсивный способ
Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.
Примеры:
Словесный способ
Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.
Примеры:
- функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;
- функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;
- функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.
Классы числовых функций
Исторический очерк
Появление понятия
Математическое моделирование явлений и законов природы приводит к возникновению понятия функции, которое поначалу ограничивается алгебраическими функциями (многочленами) и тригонометрией. Как и остальные понятия математики, общее понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. Разумеется, и в древности при вычислениях люди неосознанно использовали различные функции (например, квадратный корень) и даже уравнения, однако как отдельный математический объект, допускающий общее аналитическое исследование, функция могла появиться только после создания Виетом символической алгебры (XVI век)[2]. Даже в XVII веке Непер, вводя в обиход логарифмическую функцию, использовал обходной путь — определил её кинематически.
Первоначально объектом исследования стали разнообразные
Математический термин «функция» впервые появился в
В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий»
Первые попытки определения
В начале XVIII века были получены разложения всех стандартных функций и многих других. Благодаря, в основном,
В приложениях анализа появляется множество новых трансцендентных функций. Когда
В 1757 году Винченцо Риккати, исследуя секторы гиперболы, вводит гиперболические функции ch, sh (именно с такими обозначениями) и перечисляет их основные свойства. Немало новых функций возникло в связи с неинтегрируемостью различных выражений. Эйлер определил (1768)
С этим пёстрым собранием надо было что-то делать, и математики приняли радикальное решение: все функции, независимо от их происхождения, были объявлены равноправными. Единственное требование, предъявляемое к функции — определённость, причём имеется в виду не однозначность самой функции (она может быть и многозначной), а недвусмысленность способа вычисления её значений.
Первое общее определение функции встречается у
Всё же в
Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в
Под влиянием теории бесконечных рядов, которые давали алгебраическое представление почти любой гладкой зависимости, наличие явной формулы постепенно перестало быть обязательным для функции. Логарифм или показательная функция, например, вычисляются как пределы бесконечных рядов; такой подход распространился и на другие нестандартные функции. С рядами стали обращаться как с конечными выражениями, первоначально никак не обосновывая корректность операций и даже не гарантируя сходимость ряда.
Начиная с «Дифференциального исчисления» (
Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых.
Общее определение
С начала
В «Аналитической теории тепла»
Близко к современному и определение Лобачевского:
…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от называть число, которое даётся для каждого и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе.
Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое
у есть функция переменной х (на отрезке ), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определённое значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами.
К концу XIX века понятие функции перерастает рамки числовых систем. Первыми это сделали
Примеры
Неявные функции
Функции могут быть заданы при помощи других функций и уравнений.
Предположим, задана функция двух переменных, которая удовлетворяет специальным условиям (условиям теоремы о неявных функций), тогда уравнение вида.
- .
определяет неявную функцию вида .
Обобщённые функции
Этот раздел статьи ещё не написан. |
См. также
- Выпуклость
- Гладкость
- График функции
- Дифференцируемость
- Исследование функции
- Непрерывность
- Рациональность
- Среднее значение функции
- Числовая последовательность
Примечания
- ↑ Область определения и область значений числовой функции суть подмножество числового пространства.
- ↑ Юшкевич А. П., 1966, с. 134-135.
- ↑ Юшкевич А. П., 1966, с. 137-138.
- ↑ 1 2 Юшкевич А. П., 1966, с. 144-148.
- ↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 84. — 224 с.
Литература
- История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
- Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
- Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
- Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
- Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
- Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
- Юшкевич А. П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 123—150.