Бабий узел (теория узлов)

Бабий узел
Обозначения
Александера–Бриггса[англ.]	${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}}$
Многочлены
Александера	${\displaystyle (t-1+t^{-1})^{2}}$
Джонса	${\displaystyle (q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}}$
Конвея	${\displaystyle (z^{2}+1)^{2}}$
Инварианты
Число пересечений	6
Число отрезков	8
Свойства
Составной, альтернированный, трёхцветный

В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников. Поскольку трилистник является простейшим нетривиальным узлом, прямой и бабий узлы являются простейшими составными узлами.

Бабий узел является математической версией бытового бабьего узла.

Построение

Бабий узел можно построить из двух одинаковых трилистников, которые должны быть либо оба левыми, либо оба правыми. Каждый из узлов рассекается и свободные концы попарно соединяются. В результате соединения получаем бабий узел.

Важно, чтобы брались два одинаковых образа трилистника. Если взять два зеркальных трилистника получится прямой узел.

Свойства

• Число пересечений бабьего узла равно шести, что является минимумом для составных узлов.
• В отличие от прямого узла, бабий узел не является ленточным или срезанным.
• Бабий узел является хиральным узлом, т.е. он не эквивалентен своему зеркальному образу.
• Многочлен Александера бабьего узла равен

  ${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},}$

• Этот многочлен является квадратом многочлена Александера трилистника.
• Этот многочлен в точности тот же, что и для прямого узла.

• Аналогично, многочлен Александера — Конвея бабьего узла равен

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}$

• Этот многочлен в точности тот же, что и для прямого узла.

• Многочлен Джонса
  (правого) бабьего узла равен

  ${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}.}$

  • Этот многочлен равен квадрату многочлена Джонса для правого трилистника и он отличается от многочлена Джонса для прямого узла.
• Группа бабьего узла задаётся следующим образом

  ${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle }$^[1].

  • Эта группа изоморфна группе прямого узла, и это служит простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

См. также

• Двойной узел
• Бабий узел
• Прямой узел (теория узлов)

Примечания

Литература

• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — С. 58. — ISBN 5-94057-220-0.
• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Математическое просвещение. Сер. 3. — 1999. — С. 72—73.