Восьмёрка (теория узлов)
Восьмёрка | |
---|---|
Обозначения | |
Конвея | [22] |
Александера–Бриггса[англ.] | 41 |
Даукера[англ.] | 4, 6, 8, 2 |
Многочлены | |
Александера | |
Джонса |
|
Конвея |
|
Инварианты | |
Инвариант Арфа[англ.] | 1 |
Длина косы | 4 |
Число нитей | 3 |
Число мостов | 2 |
Число плёнок[англ.] | 2 |
Число пересечений | 4 |
Род |
1 |
Гиперболический объём | 2.02988 |
Число отрезков |
7 |
Число развязывания | 1 |
Свойства | |
расслоенный, скрученный |
|
Медиафайлы на Викискладе |
В теории узлов восьмёрка (четырёхкратный узел или узел Листинга) — это единственный узел с числом пересечений четыре. Это наименьшее возможное число пересечений после трилистника и тривиального узла. Восьмёрка является простым узлом. Впервые рассмотрен Листингом в 1847 году.
Происхождение названия
Название происходит от бытового узла восьмёрка на верёвке, у которой концы соединены.
Описание
Простое параметрическое представление узла «восьмёрка» задаётся множеством точек (x,y,z), для которых
где t — вещественная переменная.
Восьмёрка является
- Узел является однородной[1] замкнутой косой (а именно, замыканием косы с 3 нитями σ1σ2−1σ1σ2−1), а теорема Джона Сталлингса[англ.] показывает, что любая однородная коса является расслоённой.
- Узел является зацеплением в точке (0,0,0,0) — изолированной критической точки вещественного полиномиального отображения F: R4→R2 так, что (согласно теореме Джона Милнора) отображение Милнора[англ.] F является расслоением. Бернард Перрон нашёл первую такую функцию F для этого узла, а именно:
где
- .
Свойства
Узел «восьмёрка» играл исторически важную роль (и продолжает её играть) в теории 3-многообразий[англ.]*. Где-то в середине 1970-х, Уильям Тёрстон показал, что восьмёрка является гиперболическим узлом путём разложения его дополнения на два идеальных гиперболических тетраэдра (Роберт Райли и Троэльс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, до этого показали, что восьмёрка является гиперболической в другом смысле). Эта конструкция, новая по тем временам, привела его ко многим сильным результатам и методам. Например он смог показать, что все, кроме десяти, хирургий Дена[англ.] на узле «восьмёрка» дают нехакеновы[англ.], не допускающие расслоение Зейферта неразложимые[англ.] 3-многообразия. Это был первый из таких результатов. Много других было открыто путём обобщения построения Тёрстона для других узлов и зацеплений.
Восьмёрка является также гиперболическим узлом с наименьшим возможным объёмом 2,029 88…, согласно работе Чо Чунь и Роберта Майерхофа. С этой точки зрения восьмёрку можно рассматривать как самый простой гиперболический узел. Дополнение восьмёрки является двойным накрытием многообразия Гизекинга, которое имеет наименьший объём среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.
Узел «восьмёрка» и
Восьмёрка образует сингулярность в факторе Евклидова пространства по действию P2₁3. Более того, восьмёрка является единственным узлом который образует сингулярность в факторе евклидова пространства по кристаллографических группек.
Инварианты
Многочлен Александера восьмёрки равен
многочлен Конвея равен
а
Симметрия относительно и в многочлене Джонса отражает ахиральность восьмёрки.
Примечания
- ↑ Коса называется однородной, если любой генератор либо всегда положителен, либо всегда отрицателен.
- ↑ 4_1 Архивная копия от 9 февраля 2006 на Wayback Machine Knot Atlas
Литература
- Ian Agol. Bounds on exceptional Dehn filling // Geometry & Topology. — 2000. — Т. 4. — С. 431–449. MR: 1799796
- Chun Cao, Robert Meyerhoff. The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume // Inventiones Mathematicae. — 2001. — Т. 146, вып. 3. MR: 1869847
- Marc Lackenby. Word hyperbolic Dehn surgery // Inventiones Mathematicae. — 2000. — Т. 140, вып. 2. — С. 243–282. MR: 1756996
- The maximal number of exceptional Dehn surgeries. — arXiv:0808.1176.
- Robion Kirby. Problems in low-dimensional topology. (see problem 1.77, due to Cameron Gordon, for exceptional slopes)
- William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. — Princeton University lecture notes (1978–1981)..
Ссылки
- 4_1 Архивная копия от 9 февраля 2006 на Wayback Machine Knot Atlas
- Weisstein, Eric W. Figure Eight Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Для улучшения этой статьи желательно:
|