Зацепление Хопфа
Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами[1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно[2] и названо по имени Хайнца Хопфа[3].
Геометрическое представление
Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой[2]. Эта модель минимизирует длину верёвки[англ.] (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна [4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом[5].
Свойства
В зависимости от относительной ориентации[англ.] двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1[6].
Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением[7] с описывающим словом[8] .
Дополнение зацепления Хопфа — ,
Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.
Расслоение Хопфа
История
Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа[12]. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс[3], а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха[англ.], основанной в XVI столетии.
См. также
- Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
- Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением
Примечания
- ↑ Adams, 2004, с. 151.
- ↑ 1 2 Kusner, Sullivan, 1998, p. 67–78.
- ↑ 1 2 Прасолов, Сосинский, 1997, с. 12.
- ↑ Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002, p. 257–286.
- ↑ Dirnböck, Stachel, 1997, p. 105–118.
- ↑ Adams, 2004.
- ↑ Kauffman, 1987, p. 373.
- ↑ Adams, 2004, p. 133, Exercise 5.22.
- ↑ Turaev, 2010, p. 194.
- ↑ Hatcher, 2002, p. 24.
- ↑ Shastri, 2013, p. 368.
- ↑ Hopf, 1931, p. 637–665.
Литература
- Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
- Adams, Colin Conrad. . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
- Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — .
- Dirnböck H., Stachel H. The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
- Hatcher, Allen. . Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
- Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // .
- Kauffman, Louis H. . On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
- Kusner R. B., Sullivan J. M. . Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — .
- Shastri, Anant R. . Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
- Turaev, Vladimir G. . Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.
Ссылки
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|