Узел (математика)

У́зел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла считаются эквивалентными, если они изотопны, то есть один из них можно непрерывно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.

Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать).

Для определения того, является ли конкретный узел тривиальным, можно использовать различные

.

В топологии рассматриваются узлы только на замкнутых линиях, потому что не замкнутые можно развязать^[1].

Узел - гладкое подмногообразие трехмерной сферы ${\displaystyle S^{3},}$ гомеоморфное ${\displaystyle S^{1}.}$ Под ${\displaystyle S^{3}}$ понимается ориентированная трехмерная сфера, а ориентация окружности ${\displaystyle S^{1}}$ обычно несущественна.

Узел ${\displaystyle Y}$ называется срезанным, если существует двухмерный диск ${\displaystyle D\subset B^{4},}$ что ${\displaystyle Y=\partial D}$ (см. Граница (топология) и Расслоение на окружности).

Узлы ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ являются

, если существует гладко вложенное в ${\displaystyle S^{3}\times I}$ кольцо, которое пересекает ${\displaystyle S\times \{t\}}$ по ${\displaystyle Y_{t}}$ (${\displaystyle t=0,1}$). Группа кобордизмов узлов ${\displaystyle K_{1}^{3}}$ - кобордантные ориентированные узлы с операцией связного суммирования. Рассмотрим ${\displaystyle K_{n}^{n+2}}$ сферы в сфере ${\displaystyle S^{n+2}.}$ Если ${\displaystyle n}$ четно, то ${\displaystyle K_{n}^{n+2}=0.}$

Понятия косы и узла обобщаются понятием связки. Связка с ${\displaystyle k}$ входами и ${\displaystyle l}$ выходами (то есть, ${\displaystyle (k,l)}$-связка) - система непересекающихся дуг и окружностей, гладко вложенных в полосу ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1],}$ такая, что концы дуг есть точками ${\displaystyle (1,0,0),\,(2,0,0),\,...,(k,0,0)}$ и ${\displaystyle (1,0,1),\,(2,0,1),\,...,(l,0,1);}$ окружности лежат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times (0,1).}$ Эти дуги и окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ называются компонентами связки^[2].

Трилистник, узел ${\displaystyle 3_{1}}$ является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с

трилистника — [3].

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Восьмёрка, четырёхкратный узел или узел Листинга, узел ${\displaystyle 4_{1}}$ ― один из простейших нетривиальных узлов. Восьмёрка обозначается символом ${\displaystyle 4_{1}}$. Впервые рассмотрен Листингом, учеником Гаусса, в 1847 году.

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)

Также, можно показать, что трилистник (как правый, так и левый) неизотопен восьмёрке.

, известный также как узел ${\displaystyle 5_{1}}$ в обозначениях Александера и Бриггса, узел «Лапчатка» и печать Соломона, — это узел, для которого число пересечений (минимальное возможное число самопересечений на диаграмме — плоском рисунке — узла) равно пяти.

Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись ${\displaystyle 2_{1}^{2}}$.

Это были примеры полиномиальных^[3] узлов. Неполиномиальным узлом является дикий узел^[4]

Ди́кий у́зел —

${\displaystyle L}$ в евклидовом пространстве ${\displaystyle E^{3}}$ такой, что не существует гомеоморфизма ${\displaystyle E^{3}}$ на себя, при котором ${\displaystyle L}$ переходит в замкнутую ломаную, состоящую из конечного числа отрезков.

Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы ${\displaystyle \mu }$ экземпляров окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ или ${\displaystyle S^{3}}$ называется зацеплением кратности ${\displaystyle \mu }$.

Зацепление кратности ${\displaystyle \mu =1}$ называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

В теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла.

Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.

его дополнения.

Примечания

• Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). —
  doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4
  .
• P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
• C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
• Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
• Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
• Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.
• Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.:
  МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6
  ..
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
• Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов //
  Сетевой образовательный журнал
  . — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
• H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.
• Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вып. 7. —
  doi:10.1142/S0218216504003524
  .
• Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 4. —
  doi:10.1112/jtopol/jtp028
  .
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry. (англ.)
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots. (англ.)
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures. (англ.)
• Weisstein, Eric W. Knot Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.