Соотношение Бретшнайдера

Вне четырёхугольника построим внешним образом ${\displaystyle \triangle ABF}$ подобный ${\displaystyle \triangle CAD}$ и ${\displaystyle \triangle ADE}$ подобный ${\displaystyle \triangle CAB}$, чтобы

${\displaystyle \angle CAD=\angle FBA}$,

${\displaystyle \angle ACD=\angle FAB}$,

${\displaystyle \angle BAC=\angle ADE}$,

${\displaystyle \angle BCA=\angle DAE}$.

Из свойства подобных треугольников имеем: ${\displaystyle {\frac {AF}{a}}={\frac {c}{e}}}$; ${\displaystyle {\frac {BF}{a}}={\frac {d}{e}}}$; ${\displaystyle {\frac {AE}{d}}={\frac {b}{e}}}$; ${\displaystyle {\frac {DE}{d}}={\frac {a}{e}}}$. Отсюда ${\displaystyle AF={\frac {ac}{e}}}$; ${\displaystyle AE={\frac {bd}{e}}}$; ${\displaystyle BF=DE={\frac {ad}{e}}}$. Сумма углов ${\displaystyle \angle B}$ и ${\displaystyle \angle D}$ в четырёхугольнике ${\displaystyle FBDE}$ равна сумме углов ${\displaystyle \triangle BAD}$, то есть равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Отсюда ${\displaystyle FB\parallel DE}$. Также ${\displaystyle FB=DE}$, то есть ${\displaystyle FBDE}$ — параллелограмм. Отсюда ${\displaystyle f=BD=FE}$. В ${\displaystyle \triangle AEF}$ угол ${\displaystyle \angle EAF=\angle A+\angle C}$ по построению. По теореме косинусов: ${\displaystyle f^{2}=\left({\frac {ac}{e}}\right)^{2}+\left({\frac {bd}{e}}\right)^{2}-{\frac {2abcd}{e^{2}}}\cos(\angle A+\angle C)}$. Умножением на ${\displaystyle e^{2}}$ получаем требуемое:${\displaystyle (ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)}$,