Теория чисел
![]() | В другом языковом разделе есть более полная статья Number theory (англ.). |
Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.
В исследованиях по теории чисел, наряду с арифметикой и алгеброй, применяются геометрические и аналитические методы, а также методы теории вероятностей[1]. В свою очередь, теория чисел оказала влияние на развитие математического анализа, геометрии, классической и современной алгебры, теории суммируемости рядов, теории вероятностей и др.[2].
По своим методам теория чисел делится на четыре части: элементарную, аналитическую, алгебраическую и геометрическую. Методы теории чисел широко применяются в криптографии, вычислительной математике, информатике[2].
Классификация
Элементарная теория чисел
В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Среди основных тематических направлений элементарной теории чисел можно выделить следующие[3]:
- Теория делимости целых чисел.
- Алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
- Разложение числа на простые множители и основная теорема арифметики.
- Теория сравнений по модулю, решение сравнений.
- Цепные дроби, теория приближений.
- Диофантовы уравнения, то есть решение неопределённых уравнений в целых числах.
- Изучение некоторых классов целых чисел — совершенные числа, числа Фибоначчи, фигурные числа и др.
- Малая теорема Ферма и её обобщение: теорема Эйлера.
- Нахождение пифагоровых троек, задача о четырёх кубах.
- Занимательная математика — например, построение магических квадратов.
Аналитическая теория чисел
В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа (как вещественного, так и комплексного), иногда также теория дифференциальных уравнений. Это позволило значительно расширить тематику исследований теории чисел. В частности, в неё вошли следующие новые разделы[3]:
- Распределение простых чисел в натуральном ряду и в других последовательностях (например, среди значений заданного многочлена).
- Представление натуральных чисел в виде сумм слагаемых определённого вида (простых чисел, степеней, фигурных чисел и т. д.), см. Аддитивная теория чисел.
- Диофантовы приближения.
Алгебраическая теория чисел
В алгебраической теории чисел понятие целого числа расширяется, в качестве
Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений, и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство
где — корни степени из единицы. Таким образом, Куммер определил новые целые числа вида . Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени , то к нему нельзя подойти ближе чем на , приближаясь дробями вида , где и — целые взаимно простые числа[4].
После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими[4].
Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).
Геометрическая теория чисел
Геометрическая теория чисел изучает в основном «пространственные решётки» — системы точек с целочисленными координатами (в прямоугольной или косоугольной системе координат). Эти конструкции имеют большое значение для геометрии и для кристаллографии, их исследование тесно связано с арифметической теорией квадратичных форм и с другими важными разделами теории чисел. Основателем геометрической теории чисел стал Герман Минковский[2].
Исторический очерк
Теория чисел в древнем мире
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Plimpton_322.jpg/220px-Plimpton_322.jpg)
В Древнем Египте математические операции проводились над целыми числами и аликвотными дробями[5]. Математические папирусы содержат задачи с решениями и вспомогательные таблицы[6]. Ещё более широкое применение таблиц характерно для Вавилона, которые вслед за шумерами использовали шестидесятеричную систему счисления. Вавилонские клинописные математические тексты включают таблицы умножения и обратных чисел, квадратов и кубов чисел натурального ряда[7]. В Вавилоне знали множество пифагоровых троек, для поиска которых, вероятно, пользовались неизвестным общим приёмом[8]. Самой древней археологической находкой в истории арифметики является обломок глиняной таблички Плимптон, 322, датируемый
Весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант. Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства чисел, они разбили их на чётные и нечётные, простые и составные. Вероятно, именно пифагорейцы с помощью только признака делимости на два смогли доказать, что если — простое число, то —
VII, VIII и IX книги, входящие в «Начала» Евклида, посвящены
Теория чисел в Средние века
Китайская теорема об остатках входила в качестве упражнения в трактат Сунь Цзы «Сунь Цзы Суань Цзин» (кит. упр. 孙子算经, пиньинь sūnzǐ suànjīng)[11]. В его решении был опущен один из важных шагов, полное доказательство впервые получено Ариабхатой в VI веке н. э.[источник не указан 4454 дня].
Индийские математики Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскары решали диофантовы уравнения вида в целых числах. Кроме того, они решали в целых числах уравнения вида [11], что было наивысшим достижением индийских математиков в области теории чисел. Впоследствии это уравнение и его частный случай при привлекли внимание Ферма, Эйлера, Лагранжа. Предложенный Лагранжем метод нахождения решения был близок к индийскому[13].
Дальнейшее развитие теории чисел
Дальнейшее развитие теория чисел получила в работах Ферма, связанных с решением диофантовых уравнений и делимостью целых чисел. В частности, Ферма сформулировал теорему о том, что для любого простого и целого , делится на , названную малой теоремой Ферма и, кроме того, сформулировал теорему о неразрешимости диофантового уравнения в целых числах, или великую теорему Ферма
В XIX веке над теорией чисел работали многие видные учёные. Гауссом была создана теория сравнений, с помощью которой доказан ряд теорем о простых числах, изучены свойства квадратичных вычетов и невычетов, включая квадратичный закон взаимности[15], в поисках доказательства которого Гаусс рассмотрел конечные ряды определённого вида, обобщённые впоследствии до тригонометрических сумм. Развивая работы Эйлера, Гаусс и Дирихле создали теорию квадратичных форм. Кроме того, они сформулировали ряд задач о количестве целых точек в областях на плоскости, частные решения которых позволили доказать общую теорему о бесконечности числа простых точек в прогрессиях вида , где и взаимно просты[15]. Дальнейшим изучением распределения простых чисел занимался Чебышёв[16], который показал более точный, чем теорема Евклида, закон стремления к бесконечности числа простых чисел, доказал гипотезу Бертрана о существовании простого числа в интервале , а также поставил задачу об оценке сверху наименьшего значения разности между соседними простыми числами (расширение вопроса о простых близнецах)[4].
В начале XX века А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв и А. А. Марков продолжили работу над теорией квадратичных форм. Коркин и Золотарёв доказали теорему о переменных положительной кватернарной квадратичной формы, а Марков занимался изучением минимумов бинарных квадратичных форм положительного определителя. Формулы, сформулированные Дирихле для целых точек в областях на плоскости, нашли своё развитие в работах Г. Ф. Вороного, который в 1903 году определил порядок остаточного члена. В 1906 году метод был успешно перенесён на проблему Гаусса о числе целых точек в круге В. Серпиньским[4].
В 1909 году Д. Гильберт решил аддитивную проблему Варинга[4].
Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, работал с алгебраическим числовым полем, для множества чисел которого он применил все четыре алгебраических операции и построил таким образом арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порождённого , ввёл понятие идеальных множителей и дал толчок к созданию алгебраической теории чисел. В 1844 году Ж. Лиувилль ввёл понятия алгебраических и трансцендентных чисел, сформулировав таким образом в математических терминах замечание Эйлера о том, что квадратные корни и логарифмы целых чисел имеют принципиальные различия. Лиувилль показал, что алгебраические числа плохо приближаются рациональными дробями. В конце XIX века над доказательством трансцендентности конкретных чисел работали такие математики как Шарль Эрмит, который в 1873 году доказал трансцендентность числа , Ф.Линдеман, который в 1882 году доказал трансцендентность числа . Другим направлением было изучение степени приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. В нём работал Аксель Туэ, который в 1909 году доказал теорему, названную его именем[4].
Другим направлением работ явилось определение Риманом дзета-функции и доказательство того, что она аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного и обладает рядом других свойств. Риман также высказал гипотезу о нулях дзета-функции. Работая над дзета-функциями,
В первой половине XX века над проблемами теории чисел работали Герман Вейль, сформулировавший соотношение для равномерного распределения дробных долей целочисленных функций, Г.Харди и Дж. Литлвуд, которые сформулировали круговой метод решения аддитивных задач, А. О. Гельфонд и Т. Гнейдер, которые решили 7-ю проблему Гильберта, К. Зигель, который доказал ряд теорем о трансцендентности значений функций, Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеев, которые занимались исследованием диофантова уравнения , А.Сельберг, который работал в теории дзета-функции Римана[4].
Большой вклад в развитие теории чисел внёс И. М. Виноградов, доказавший неравенство о числе квадратичных вычетов и невычетов на отрезке, определивший метод тригонометрических сумм, который позволил упростить решение проблемы Варинга, а также решение ряда задач по распределению дробных долей функции, определению целых точек в области на плоскости и в пространстве, порядок роста дзета-функции в критической полосе. В задачах, связанных с тригонометрическими суммами, важным является как можно более точная оценка их модуля. Виноградов предложил два метода такой оценки. Кроме того, он вместе с учениками разработал ряд методов, которые позволяют решить задачи, выводимые из гипотезы Римана[4].
Многочисленные работы по теории чисел относятся ко второй половине XX века. Ю. В. Линник разработал дисперсионный метод, который позволил вывести асимптотические формулы для проблемы Харди — Литлвуда и проблемы простых делителей Титчмарша[4].
Вместе с тем, в теории чисел существует большое количество открытых проблем.
Прикладное значение
В связи с развитием информационных технологий оказалось, что многие задачи теории чисел, ранее имевшие чисто теоретический интерес, в XXI веке можно успешно применить для организации защищенного обмена информацией в компьютерных сетях. Так, развитие теоретико-числовых алгоритмов привело к созданию систем шифрования, основанных на задаче разложения больших чисел на простые множители, а также систем цифровой подписи, использующих свойства конечных полей и эллиптических кривых[17].
См. также
Примечания
- ↑ Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012. Архивировано22 июня 2012 года.
- ↑ 1 2 3 Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах). — АН СССР, 1956. — Т. 2. — С. 226—227. — 397 с.
- ↑ 1 2 Нестеренко Ю. В., 2008, с. 3—6.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Чисел теория // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 9.
- ↑ Арифметика // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 37-39.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 50.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 68-69.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 74-76.
- ↑ 1 2 3 4 Number Theory, page 2 (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012. Архивировано 22 июня 2012 года.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 146-148.
- ↑ История математики, том I, 1970, с. 194-195.
- ↑ Number Theory, page 3 (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012. Архивировано 22 июня 2012 года.
- ↑ 1 2 3 Number Theory, page 4 (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012. Архивировано 22 июня 2012 года.
- ↑ Number Theory, page 5 (англ.). Encyclopædia Britannica. Дата обращения: 6 июня 2012. Архивировано 22 июня 2012 года.
- ↑ Янчевский В., Супруненко И. Алгебра, алгебраическая геометрия и теория чисел . КиберЛенинка. Дата обращения: 13 ноября 2023. Архивировано 13 ноября 2023 года.
Литература
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел = A Classical Introduction to Modern Number Theory. — М.: Мир, 1987.
- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1972. — 510 с. Архивная копия от 8 января 2011 на Wayback Machine
- Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
- Переиздание: Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва: Издательство Юрайт, 2021. — 123 с. — (Антология мысли). — ISBN 978-5-534-12085-1.
- История математики. С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией Юшкевича А. П., в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Кох Х. Алгебраическая теория чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
- ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
- Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
- Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
- Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. — М.: Наука, 1979. — 64 с.
Ссылки
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Number theory", ISBN 978-1-55608-010-4