Основания математики

Основа́ния матема́тики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы^[1].

С античности и приблизительно до конца XVII века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат

Кроме того, в настоящее время развивается теория категорий, которая потенциально может заменить теорию множеств в качестве основания математики.

Никола Бурбаки определяет математику как «науку об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории».^[4]

Предельная идеализация объектов математики может казаться препятствием к их изучению, однако ещё в древности было замечено, что одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные

1. Декартово произведение
   ${\displaystyle X\times Y}$ двух множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ можно определить как множество упорядоченных пар ${\displaystyle (x,y)}$, с ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle y\in Y}$, в котором сами упорядоченные пары ${\displaystyle (x,y)}$ определяются как множества вида ${\displaystyle \{x,\{x,y\}\}}$ (состоящие из двух элементов, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \{x,y\}}$, причём второй элемент — это множество из двух элементов, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$).^{[7][8][9][10][11]}
2. отображение
   ${\displaystyle f:X\to Y}$ множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$ можно также определить как некое множество, а именно, как подмножество в декартовом произведении ${\displaystyle f\subseteq X\times Y}$, удовлетворяющее следующим двум условиям:^{[12][8][13][14]}

${\displaystyle \forall x\in X~\exists y\in Y:(x,y)\in f}$	${\displaystyle \quad }$	(«для любого ${\displaystyle x\in X}$ существует ${\displaystyle y\in Y}$, такой что ${\displaystyle (x,y)\in f}$»),
${\displaystyle \left((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f\right)\implies y=z}$	${\displaystyle \quad }$	(«если ${\displaystyle (x,y)\in f}$ и ${\displaystyle (x,z)\in f}$, то ${\displaystyle y=z}$»).

Первое условие здесь означает, что каждому аргументу ${\displaystyle x\in X}$ сопоставлено некоторое значение ${\displaystyle y\in Y}$ функции ${\displaystyle f}$, а второе — что это значение единственно.

Из этих наблюдений следует вывод, серьёзно повлиявший на отношение современников к теории множеств

♦ Как иллюстрация, теория чисел может быть представлена как часть теории множеств, её дефинициальное расширение^[англ.], если заметить, что изучаемые ею объекты — числа — допускают описания как множества специального вида:^[15][16][17]

• Натуральные
  (неотрицательные целые) числа ${\displaystyle \mathbb {N} }$ естественно определяются как конечные
  ординалы (с отношением порядка и операциями сложения и умножения для ординалов)^[18][19][20]
  .
• Целые числа
  ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ затем определяются как элементы фактормножества декартова квадрата ${\displaystyle {\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} }}$ множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$ натуральных чисел, по отношению эквивалентности

${\displaystyle (n,m)\sim (n',m')~\iff ~n+m'=n'+m,}$

с отношением порядка^[21]

${\displaystyle [(n,m)]\leq [(n',m')]~\iff ~n+m'\leq n'+m}$

и алгебраическими операциями

${\displaystyle [(n,m)]+[(n',m')]=[(n+n',m+m')],}$

${\displaystyle [(n,m)]\cdot [(n',m')]=[(n\cdot n'+m\cdot m',n\cdot m'+m\cdot n')],}$

и при этом вложение ${\displaystyle \mathbb {N} }$ в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ описывается формулой

${\displaystyle k\in {\mathbb {N} }\mapsto [(k,0)]\in {\mathbb {Z} }}$.

Класс эквивалентности ${\displaystyle [(n,m)]}$ интерпретируется как целое число ${\displaystyle n-m}$ в обычной записи (с ${\displaystyle n,m\in {\mathbb {N} }}$).

• Рациональные числа
  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ определяются как элементы
  декартова произведения
  ${\displaystyle {\mathbb {Z} }\times {\big (}{\mathbb {N} }\setminus \{0\}{\big )}}$ множества ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел и множества ${\displaystyle {\mathbb {N} }\setminus \{0\}}$ натуральных чисел без нуля, по отношению эквивалентности^[22]

${\displaystyle (p,q)\sim (p',q')~\iff ~q'\cdot p=q\cdot p',}$

с отношением порядка^[23]

${\displaystyle [(p,q)]\leq [(p',q')]~\iff ~q'\cdot p\leq q\cdot p'}$

и алгебраическими операциями

${\displaystyle [(p,q)]+[(p',q')]=[(p\cdot q'+p'\cdot q,q\cdot q')],}$

${\displaystyle [(p,q)]\cdot [(p',q')]=[(p\cdot p',q\cdot q')],}$

и при этом вложение ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ описывается формулой

${\displaystyle k\in {\mathbb {Z} }\mapsto [(k,1)]\in {\mathbb {Q} }}$.

Класс эквивалентности ${\displaystyle [(p,q)]}$ интерпретируется как рациональное число ${\displaystyle p/q}$ в обычной записи (с ${\displaystyle p\in {\mathbb {Z} }}$, ${\displaystyle q\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}}$).

• Вещественные числа
  ${\displaystyle \mathbb {R} }$ определяются как
  дедекиндовы сечения
  множества ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рациональных чисел (с индуцированными из ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ алгебраическими операциями и отношением порядка).
• Комплексные числа
  ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — как элементы декартова квадрата ${\displaystyle {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }}$ множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел с алгебраическими операциями

${\displaystyle (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')}$,

${\displaystyle (x,y)\cdot (x',y')=(x\cdot x'-y\cdot y',x\cdot y'+y\cdot x'),}$

и при этом вложение ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ описывается формулой

${\displaystyle a\in {\mathbb {R} }\mapsto (a,0)\in {\mathbb {C} }}$.

Мнимая единица определяется в этой конструкции как пара ${\displaystyle i=(0,1)}$, и вместе с предыдущими обозначениями это даёт тождество

${\displaystyle (x,y)=x+iy,\quad x,y\in {\mathbb {R} },}$

интерпретируемое как обычная алгебраическая запись комплексного числа.

♦ Другая иллюстрация: математический анализ, как теория, описывающая свойства функций на вещественных числах^[24], может считаться дефинициальным расширением теории множеств, потому что обе главные его конструкции — функция (отображение) и вещественное число — как уже было сказано выше, представляют собой множества.

♦ Следующая иллюстрация: в алгебре понятие группы описывается как множество ${\displaystyle G}$ с заданной на нём операцией ${\displaystyle m:(x,y)\mapsto m(x,y)=x\cdot y}$, отображающей декартов квадрат ${\displaystyle G\times G}$ в ${\displaystyle G}$, и обладающей нужными свойствами (ассоциативность, существование нейтрального элемента 1 и обратного элемента ${\displaystyle x^{-1}\in G}$ для каждого ${\displaystyle x\in G}$). Поскольку, как уже объяснялось, отображения представляют собой частный случай множеств, всю конструкцию группы можно интерпретировать как множество ${\displaystyle G}$ с дополнительной структурой в виде ещё одного множества ${\displaystyle m}$ с определёнными свойствами.

♦ Основная конструкция топологии, понятие топологического пространства определяется как произвольное множество ${\displaystyle X}$ с фиксированным множеством ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ подмножеств в ${\displaystyle X}$, содержащим ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle \varnothing }$, и замкнутым относительно объединений и конечных пересечений (такое множество ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ подмножеств в ${\displaystyle X}$ называется топологией на множестве ${\displaystyle X}$, а элементы ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — открытыми множествами в ${\displaystyle X}$).

♦ Похожим образом, во всей остальной математике (исключая лишь некоторые области математической логики, служащие фундаментом для построения самой теории множеств и/или изучающие формально более общие вопросы) используемые понятия определяются как множества (возможно, некоторого специального вида) с заданными на них дополнительными структурами (которые также определяются как множества нужного вида)^[25]. Таковы, в частности,

• алгебраические системы в алгебре
  ,
• многообразия со всевозможными дополнительными структурами типа метрики, связности, кривизны и т. п. в геометрии
  ,
• меры с порождаемыми ими пространствами функций и операторов в анализе,
• случайные величины в теории вероятностей
  ,
• объекты с морфизмами в теории категорий, и т. д.

Фактически, все математические теории описываются ныне как дефинициальные расширения какой-нибудь теории множеств из разработанного для этих целей стандартного списка^[26] (причём в подавляющем большинстве случаев подходит любая теория из этого списка), и именно по этой причине теория множеств считается в наше время языком математики.^[3]

Развитие математики показало, что понятие множества само по себе требует аккуратного определения, чтобы недосказанности в понимании его свойств не приводили к

Это позволило избавиться от всех появившихся в начале XX века противоречий в математике (правда, без гарантий, что новые противоречия не появятся в будущем[30]). С другой стороны, довольно быстро обнаружилось, что предпочтения в выборе аксиом у математиков неодинаковы, и это привело к появлению многочисленных неэквивалентных аксиоматических теорий множеств^[31]. Наибольшей популярностью среди них пользуются ныне

• теория ZF Цермело — Френкеля^[32][33] с различными своими модификациями, в частности, с присоединённой к ней аксиомой выбора (этот вариант ZF имеет обозначение ZFC), и/или универсумом Гротендика,
• теория NBG фон Неймана — Бернайса — Гёделя^[34] и
• теория MK^[англ.] Морса — Келли^[35].

Считается, что у каждой из них есть свои достоинства и недостатки.^[36] Теория ZF исторически появилась первой, и для большинства математических задач её обычно бывает достаточно, поэтому по употребительности она сильно опережает остальные. Однако в современных абстрактных областях математики, в частности, там, где используются методы теории категорий, как, например, в алгебре или в функциональном анализе, бывает желательно рассматривать образования, более общие, чем множества, так называемые классы, которых в ZF нет, и для этих целей обычно выбираются NBG или MK.^[36] Преимуществом NBG в этом списке является её конечная аксиоматизируемость.^[37][34] Но по элегантности и спектру возможностей и ZF, и NBG уступают MK.^[36] Недостатком MK (как и NBG) тем не менее является то, что в этой теории нет возможности рассматривать образования, более широкие, чем классы, содержащие произвольные классы как элементы (что также бывает желательно в некоторых математических дисциплинах, как, например, в теории категорий).^[38] Эта проблема предела возможностей решается иногда добавлением к MK (и точно так же этот приём работает в ZF и NBG) аксиомы существования универсума Гротендика с последующим переименованием объектов.^[39]

Вместе современные аксиоматические теории множеств образуют некую систему с общими языком и методами (и различиями только в списках аксиом), целью которой является обеспечение математиков инструментами для построения всех остальных математических объектов, существующих, и тех, которые могут понадобиться в будущем, и эту систему теорий, вместе с той областью математики, внутри которой они строятся, математической логикой, принято называть основаниями математики. Как часть математической логики, сюда входят и альтернативные теории, где вместо множеств в качестве первичных понятий математики предлагаются другие формы, в частности, объекты абстрактных категорий, описываемых не по традиции (как конструкции в ZF, NBG или MK), а напрямую, как независимые теории первого порядка.^[40]

Дошедшие до наших дней труды египетских и вавилонских математиков содержат только алгоритмы вычислений, разъясняемые на практических примерах. Никаких доказательств в них нет; неясно, каким образом открывались и обосновывались результаты, и обосновывались ли вообще. В трудах математиков Древнего Китая встречаются отдельные доказательства алгебраических и геометрических утверждений, однако единой системы логически связанных знаний они не образуют^[41][42].

Идейные мотивы

Геометрические исследования пифагорейцев, основанные на идеализированных понятиях точек, линий и других фигур, вызвали ещё в V веке до н. э. критику со стороны Зенона Элейского, который своими апориями поставил вопрос: как реальный путь движения может состоять из непротяжённых точек? Эта проблема (дискретность или непрерывность пространства и времени) обсуждается в философии науки до сих пор^[45][46].

В V веке до н. э. произошло событие, которое на современном языке можно оценивать как первый кризис оснований математики

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Первой целостной системой оснований математики стали «Начала» Евклида (III век до н. э.), надолго ставшие образцом математической теории и фундаментом последующих достижений (о предшественниках Евклида, которые несомненно существовали, практически ничего не известно). Этот труд, следуя Евдоксу, положил в основу математики вместо арифметики геометрию. Правила логического вывода были ранее, в IV веке до н. э., подробно изложены Аристотелем. В первой книге «Начал» Евклид даёт 14 аксиом геометрии и арифметики (первые пять часто называют постулатами), затем из них логически выводятся многочисленные теоремы. Каждая теорема выводится либо из аксиом, либо из других теорем (истинность которых ранее уже была доказана), и согласно законам логики Аристотеля новая теорема также является истинной. Теория величин Евдокса (по существу, краткий вариант современной теории вещественных чисел) изложена Евклидом в пятой книге его «Начал» и использовалась в Европе до XVII века. Арифметика величин моделировалась Евклидом на основе действий с отрезками, прямоугольниками и параллелепипедами^[2][48].

Уже в античные времена были критически отмечены недостатки евклидовского труда, в частности, Архимед указывал на необходимость добавления аксиомы, называемой ныне «аксиомой Архимеда» (сформулирована она была ещё Евдоксом). Со временем число замеченных недостатков постепенно увеличивалось^[49]. Количество аксиом у Евклида оказалось недостаточным, многие его рассуждения опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения, которое неявно используется во многих местах — например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал — возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности». Аксиоматика Евклида не позволяет обосновать важные для доказательств факты — например, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника, или что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках^[50].

Впоследствии математики отказались от идеи построения арифметики на основе геометрии, заменив её на противоположную: начиная с аналитической геометрии Декарта (XVII век) геометрические задачи решаются с помощью числовых уравнений^[48][51].

Европейские учёные Средневековья и начала Нового времени разделяли античные идеи о том, что в основу установленных свыше законов природы были положены математические

В конце XVII века произошло важное событие: Ньютон и Лейбниц создали математический анализ, называвшийся тогда «анализом (или исчислением) бесконечно малых». Сфера применения математики в самых разных науках многократно расширилась, а методы существенно углубились. Однако техника тогдашнего анализа опиралась на алгебраические операции с новым математическим объектом — бесконечно малыми величинами, — смысл которых пояснялся в довольно туманных выражениях^[54], а процедуры работы с ними выглядели довольно противоречиво: в ходе расчёта с бесконечно малыми сначала обращались как с ненулевыми числами (например, делили друг на друга), в конце же их приравнивали к нулю. Новому разделу математики требовалось найти столь же строгое, как у Евклида, обоснование, но появилось оно только полтора столетия спустя, в XIX веке^[55].

В 1784 году

В

В XX веке удалось построить аксиоматические теории множеств, свободные от обнаруженных ранее противоречий, и по этой причине большинство математиков в итоге приняли теорию множеств. Обсуждение деталей и альтернатив продолжалось, однако, вплоть до 1950-х годов, и в какой-то мере сохраняет актуальность и поныне[2]. Изначально в этих обсуждениях выделились три главных подхода, получившие название логицизм, интуиционизм и формализм.

Идеи

Авторы последовательно выводят из аксиом основное содержание математической логики, затем переходят к классам (множествам). Задав некоторое свойство с помощью пропозициональной функции, можно определить конкретное множество (носителей этого свойства). В отношении множеств аксиоматика Рассела и Уайтхеда включает в себя аксиому выбора и аксиому бесконечности (последняя обеспечивает существование бесконечных множеств). Во избежание парадоксов авторы сразу запрещают множества, содержащие самих себя, с помощью специально построенной ими «теории типов». Множества и высказывания строго разделяются по уровню их типов, произвольное смешение типов невозможно. Такая организация исключает все известные парадоксы, однако значительно усложняет формулировки, поскольку, например, натуральные и вещественные числа имеют разные типы. Для решения этой проблемы Рассел и Уайтхед ввели особую аксиому сводимости^[англ.] (иначе, аксиому редукции), позволяющую понижать тип функций одного или двух переменных и тем самым ставить объекты на сопоставимый уровень^[69].

Определение чисел (конечных и

Идейным антиподом логицизма был

Базовыми истинами интуиционистской математики являются интуитивно очевидные человеческие представления, главные из которых — понятия натурального числа и математической индукции. Математическое мышление во всех своих проявлениях также глубоко интуитивно, и логика для него не более чем проверочный инструмент; логика основана на математике, а не математика на логике (впрочем, некоторые логические принципы входят как составная часть в математическую интуицию). Аксиоматизация и доказательства непротиворечивости — напрасный труд, интуиция не содержит противоречий. Геометрию Брауэр отнёс к физике твёрдых тел и устранил её из оснований математики; неевклидовы геометрии, по мнению Брауэра, доказывают зыбкость и неоднозначность пространственной интуиции^[71][72].

Брауэр потребовал устранить из логики и математики все интуитивно сомнительные аспекты, произвёл соответствующую переоценку оснований и существенно ограничил математику и логику в нескольких направлениях. Он заявил, что человеческая интуиция всегда имеет дело с конечными множествами, поэтому

Критики указывали на тот факт, что интуиция у разных людей разная, а человеческий разум способен заблуждаться, и поэтому не может быть интуитивных истин, общих для всех людей[74].

Гильберт иронически оценил перестроенную интуиционистами математику как «жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты»; по его мнению, интуиционизм пытается изуродовать и разрушить математику.

Наиболее активные работы по основаниям математики вела в первой половине XX века школа Гильберта, идеи которой получили название «

Эта программа довольно быстро привела к определённым успехам: Гильберт и его ученики определили систему формальной записи математических утверждений и правила вывода на этом языке одних утверждений из других (таких систем было разработано несколько, одной из самых наглядных считается исчисление секвенций Г. Генцена), с таким расчётом, чтобы на этот язык можно было перевести все известные математические результаты; это давало возможность выводить их потом из подходящих аксиом теории, лежащей в основаниях математики (такой, как теория множеств). Одновременно таким формальным уточнением математических понятий и приёмов удалось избавиться от всех накопленных к тому времени противоречий в математике.^[77][78]

Однако появившиеся в 1931 году теоремы Гёделя о неполноте неожиданно показали, что, понимаемая буквально, программа Гильберта неосуществима: во-первых, обнаружилось, что полнота любой достаточно широкой формальной теории (точнее, любой теории, включающей арифметику натуральных чисел) несовместима с её непротиворечивостью, а, во-вторых, доказать непротиворечивость какой-либо теории, содержащей арифметику, невозможно, и можно говорить только об относительной непротиворечивости таких теорий.^[79][80]

Как иллюстрация,

Нельзя сказать, что сам подход Гильберта встретил однозначную поддержку среди математиков. Его тезис, что к любому непротиворечивому математическому объекту следует относиться как к существующему, был неприемлем для интуиционистов. Некоторые математики считали, что замена истинности на выводимость, формально-синтаксическая «игра с формулами» лишают математические истины смысла, делают математику бессодержательной и не могут отразить связи математики с реальным миром^[84].

Тем не менее именно исследования Гильберта и его школы оставили наиболее глубокий след в области оснований математики и по существу сформировали современное лицо этой науки. После результатов Гёделя сторонникам формализма пришлось внести определённые коррективы в поставленные Гильбертом цели (а именно, отказаться от надежд доказать непротиворечивость и полноту теории множеств, как их понимал Гильберт), однако созданное Гильбертом и его учениками исчисление предикатов в математической логике послужило фундаментом для постройки современных аксиоматических теорий множеств, на которых, в свою очередь, строится вся нынешняя математика^[85][86].

Анализ проблем наивной теории множеств показал, что язык математики, в частности, используемое в нём в качестве основной конструкции понятие множества, требует точного, формализованного описания во избежание появления недоразумений и парадоксов. Это привело в первой половине XX века к выработке на основе созданного Гильбертом и его учениками логического

• теоремы Гёделя о неполноте (то есть о невозможности доказать непротиворечивость или полноту) любой (рекурсивно аксиоматизированной) теории, интерпретирующей арифметику Пеано PA^[87]
  , и
• теорема Гёделя о полноте, устанавливающая связь между выводимостью и логической истинностью формулы^[88].

Среди современных аксиоматических теорий множеств, помимо уже упоминавшихся ZF, NBG и MK, логиками рассматриваются в качестве альтернатив теория Тарского–Гротендика^[англ.] (TG), «Новые основания» У.Куайна (NF), позитивная теория множеств О. Эссера (${\displaystyle {\text{GPK}}_{\infty }^{+}}$), конструктивные теории множеств, теории множеств для нестандартного анализа, «карманные теории множеств» и другие^[31].

В 1960-х годах У.Ловером^[40] была предложена теория первого порядка, описывающая понятие категории автономно, без традиционной привязки к теории множеств. Неформально под категорией в математике понимается совокупность объектов с системой преобразований (морфизмов) одного объекта в другой. На языке теории множеств понятие объекта интерпретируется как множество с дополнительной структурой, а морфизма — как отношение (обычно отображение), сохраняющее такую структуру. Примерами категорий являются

• множества с отображениями,
• группы с гомоморфизмами,
• топологические пространства с непрерывными отображениями,
• решётки с монотонными отображениями,

и т. д. Теория Ловера позволяет интерпретировать аксиоматические теории множеств как частные случаи категорий, поэтому построенный им формальный язык может претендовать на право считаться альтернативным языком математики. В настоящее время эта область математики активно развивается.^[89]

В связи с развитием компьютеров около 1970 года в разных местах независимо стали появляться идеи о том, что математические доказательства могут автоматически проверяться при помощи компьютеров^[90]. Стало разрабатываться большое количество систем проверки доказательств. Это возродило интерес к вопросу об основаниях математики: если раньше логиков интересовал вопрос об избавлении от парадоксов, то теперь основным вопросом стала разработка удобного языка и логической системы, которые подходили бы для написания теорем и доказательств и их дальнейшей проверки на компьютере. Практическая потребность в этом возникла в связи с необходимостью формальной верификации корректности компьютерных алгоритмов и языков программирования^[91].

Кроме того, появились две новые проблемы обоснования математических результатов, которые, по мнению

• Начала Евклида / Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. — М.—Л.: ГТТИ, 1949—1951. — (Классики естествознания).
• Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т / Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева. — Самара: Самарский университет, 2005—2006. — ISBN 5-86465-359-4.
• Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука.
  • Том I. Логические исчисления и формализация арифметики. 1979, 560 c.
  • Том II. Теория доказательств. 1982, 656 с.
• Brouwer, Luitzen Egbertus Jan. Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift, Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907 im Internet-Archiv, dito). Диссертация Брауэра «Об основаниях математики» (нид.).
  • Английский перевод: Brouwer L. E. J. Collected Works. Vol. 1: Philosophy and Foundations of Mathematics. — Amsterdam—Oxford, 1975. — 734 p. — ISBN 9781483257549.
• Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: Издательство иностранной литературы, 1957. — 526 с.
• Бар-Хиллел И.
  Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.
• Основания математики. — Большая советская энциклопедия, 3-е изд., том 18, С. 1685..
• Kunen, Kenneth^[англ.]. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (англ.). — North-Holland, 1980. — ISBN 0-444-85401-0.
• Бурбаки Н. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова
  . — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
• Бурбаки, Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики (макед.). — Москва: Издательство иностранной литературы, 1963. — (Элементы математики).
• Зеннхаузер, Вальтер. Платон и математика. — СПб.: Издательство РХГА, 2016.
• Начала Евклида. Книги I - VI. — Москва: ОГИЗ, 1948.
• Monk, J.D. Introduction to Set Theory. — McGraw-Hill Education, 1969.
• Jech, T. Set Theory. — Springer^[англ.], 1997.
• Келли, Дж.^[англ.]. Общая топология. — Москва: Наука, 1981.
• Enderton, H.B. Elements of set theory. — Academic press, 1977.
• Roitman, J. Introduction to modern set theory. — Wiley, 1990.
• Cambridge University Press
  , 2011. — 515 p.
• Ciesielski, K. Set theory for the working mathematician. — Cambridge University Press, 1997.
• Мендельсон Э.^[англ.]. Введение в математическую логику. — Москва: Наука, 1984.
• Адян С. И. Математическая логика // Математическая энциклопедия. — Москва: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3.

• Шенфилд Дж. Математическая логика. — Москва: Наука, 1975.

• F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics (англ.) // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. — Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. — P. 1—20. —
  doi:10.1007/978-3-642-99902-4_1
  .
• История математики. С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — 446 с. Архивная копия от 12 февраля 2007 на Wayback Machine
• Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1978. — 256 с.
• Метафизика. Век XXI. Альманах. Вып. 4: Метафизика и математика. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 463 с. — ISBN 978-5-9963-0551-3. Сборник классических (Риман, Пуанкаре, Брауэр, Гёдель, Коэн, Г. Вейль) и современных статей по вопросам обоснования математики и о других проблемах математики и физики.
• Мостовский А. Современное состояние исследований по основаниям математики (рус.) // Успехи математических наук. — М.: Российская академия наук, 1954. — Т. 9, вып. 3(61). — С. 3—38. Это расширенное изложение доклада, прочитанного на VIII съезде польских математиков (Варшава, 1953).
• Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — изд. 2-е. — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2.
• Перминов В. Я. Философия и основания математики. — М.: Прогресс-Традиция, 2001. — 320 с. — ISBN 5-89826-098-6.
• Яровой Г., Радаев Ю. Предисловие // Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т. — Самара: Самарский университет, 2005—2006. — ISBN 5-86465-359-4.
• Яшин Б. Л. Математика в контексте философских проблем. — М.: Прометей, 2012. — С. 69. — 110 с. — ISBN 978-5-4263-0111-5.

• Янов Ю. И. Математика, метаматематика и истина  (неопр.). Дата обращения: 10 января 2018.
• Friedman Harvey M. Foundations of mathematics: past, present, and future (англ.). Дата обращения: 16 ноября 2017.
• Horsten, Leon. Philosophy of Mathematics (англ.). — Stanford Encyclopedia of Philosophy. Дата обращения: 15 ноября 2017.
• Kunen, Kenneth. The Foundations of Mathematics (англ.) (29 октября 2007). Дата обращения: 15 ноября 2017.
• Lambek, Joachim. Foundations of mathematics (англ.). — в энциклопедии Britannica. Дата обращения: 15 ноября 2017.
• Simpson, Stephen G. Logic and Mathematics (англ.). Дата обращения: 16 ноября 2017.

Эта статья входит в число избранных статей русскоязычного раздела Википедии.