Теория множеств
Тео́рия мно́жеств — раздел
Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики[1]. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту[2].
Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием
Ключевые понятия теории
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/3D_Cantor_set.jpg/220px-3D_Cantor_set.jpg)
История
Предпосылки
Множества, в том числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён
Первое представление об актуально бесконечном множестве относят к работам
Более отчётливое представление о бесконечных множествах проявляется в работах
Наиболее близкие к наивной теории множеств Кантора представления содержатся в трудах
Наивная теория множеств
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Georg_Cantor3.jpg/220px-Georg_Cantor3.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Diagonal_argument.svg/220px-Diagonal_argument.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Cantor-bernstein.svg/220px-Cantor-bernstein.svg.png)
Основным создателем теории множеств в наивном её варианте является немецкий математик
В
- ,
- ,
в последующих своих работах многократно используя этот результат[20]. В публикации 1878 года о равномощности континуумов разного числа измерений Кантор использовал теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие мощности множества, доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля алгебраических чисел предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ (Люрот[нем.], Томе[нем.], Нетто) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей[21] (точное доказательство этого факта дал Брауэр в 1911 году).
В
).С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет опубликовал лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»
В 1895—1897 годы Кантор опубликовал цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств[27][28].
С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были
Парадоксы
Размытость понятия множества в наивной теории, при которой допускалось построение множеств лишь по признаку сбора всех объектов, обладающих каким-либо свойством, привела к тому, что в период 1895—1925 годов была обнаружена значительная серия противоречий, внесшая серьёзные сомнения в возможность использования теории множеств как фундаментального инструмента, ситуация получила известность как «кризис оснований математики»[31].
Противоречие, к которому приводит рассмотрение множества всех
Наиболее значительным противоречием, повлиявшим на дальнейшее развитие теории множеств и оснований математики в целом стал парадокс Рассела, обнаруженный около 1901 года Бертраном Расселом и опубликованный в 1903 году в монографии «Основания математики». Суть парадокса в противоречии при рассмотрении вопроса о принадлежности самому себе множества всех множеств, не включающих себя. Кроме того, примерно к тому же времени относится обнаружение таких антиномий как парадокс Ришара, парадокс Берри и парадокс Греллинга — Нельсона, показывающих противоречия при попытках использования самореференции свойств элементов при построении множеств.
В результате осмысления возникших парадоксов в сообществе математиков возникло два направления по разрешению возникших проблем: формализация теории множеств посредством подбора системы аксиом, обеспечивающей непротиворечивость при сохранении инструментальной мощи теории, второе — исключение из рассмотрения всех не поддающихся интуитивному осмыслению конструкций и методов. В рамках первого направления, начатого Цермело, Гильбертом, Бернайсом, Хаусдорфом, было создано несколько вариантов аксиоматической теории множеств и за счёт довольно искусственных ограничений преодолены основные противоречия. Второе направление, основным выразителем которого был Брауэр, породило новое направление в математике — интуиционизм, и в той или иной мере оно было поддержано Пуанкаре, Лебегом, Борелем, Вейлем.
Аксиоматические теории множеств
Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело, центральную роль в исключении парадоксов в этой системе должна была сыграть «аксиома селекции» (нем. Aussonderung), согласно которой от свойства только тогда можно образовать множество , если из следует отношение вида
Особая роль аксиомы выбора связана с её интуитивной неочевидностью и заведомым отсутствием эффективного способа определения множества, собранного из элементов семейства. В частности Борель и Лебег считали, что доказательства, полученные с её применением, имеют другую познавательную ценность, нежели доказательства, независимые от неё, тогда как Гильберт и Хаусдорф принимали её безоговорочно, признавая за ней не меньшую степень очевидности, что и за другими аксиомами ZF[36].
Другой получивший распространение вариант аксиоматизации теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году, формализован в 1930-е годы Бернайсом, и упрощён Гёделем в 1940 году (в работе по доказательству независимости континуум-гипотезы от аксиомы выбора), окончательный вариант получил известность как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначение NBG[37].
Существует ряд прочих аксиоматизаций, среди них система Морса — Келли[англ.] (MK), система Крипке — Платека[англ.], система Тарского — Гротендика[англ.].
Дескриптивная теория множеств
В начале XX века в работах Лебега, Бэра, Бореля исследованы вопросы измеримости множеств. На основе этих работ в 1910—1930 годы разработана теория дескриптивных множеств, систематически изучающая внутренние свойства множеств, построенных теоретико-множественными операциями из объектов относительно простой природы — открытых и замкнутых множеств евклидова пространства, метрических пространств, метризуемых топологических пространств со счётной базой. Основной вклад в создание теории внесли Лузин, Александров, Суслин, Хаусдорф. С 1970-х годов разрабатываются обобщения дескриптивной теории множеств на случай более общих топологических пространств.
Основные понятия
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Cartesian_Product_qtl1.svg/220px-Cartesian_Product_qtl1.svg.png)
В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение принадлежности множества (обозначается как [38] — « есть элемент множества », « принадлежит множеству »). Пустое множество, обычно обозначается символом — множество, не содержащее ни одного элемента.
Над множествами определены следующие операции:
- объединение, обозначается как — множество, содержащее все элементы из и ,
- разность, обозначается как , реже — множество элементов , не входящих в ,
- дополнение, обозначается как или — множество всех элементов, не входящих в (в системах, использующих универсальное множество),
- пересечение, обозначается как — множество из элементов, содержащихся как в , так и в ,
- симметрическая разность, обозначается как , реже — множество элементов, входящих только в одно из множеств — или .
Объединение и пересечение также часто рассматривают над семействами множеств, обозначаются и и составляют, соответственно, объединение всех множеств, входящих в семейство и пересечение всех множеств, входящих в семейство.
Объединение и пересечение коммутативны, ассоциативны и идемпотентны. В зависимости от выбора системы аксиом и наличия дополнения алгебра множеств (относительно объединения и пересечения) может образовывать дистрибутивную решётку, полную дистрибутивную решётку, булеву алгебру. Для визуализации операций над множествами используются диаграммы Венна.
Мощность множества (кардинальное число) — характеристика количества элементов множества, формально определяется как класс эквивалентности над множествами, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, обозначается или . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств — целое число, равное количеству элементов. Над кардинальными числами, в том числе характеризующими бесконечные множества, можно установить отношение порядка, мощность счётного множества обозначается (алеф — первая буква еврейского алфавита), является наименьшей из мощностей бесконечных множеств, мощность континуума обозначается или , континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.[39]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Omega-exp-omega-labeled.svg/220px-Omega-exp-omega-labeled.svg.png)
Если кардинальное число характеризует класс эквивалентности множеств относительно возможности установить взаимно-однозначное соответствие, то
- ,
после чего вводятся -числа:
- .
Множество всех - и -чисел — счётных ординалов — обладает мощностью .[40]
Обобщения
Средствами
Теория мультимножеств[42], в применении к теории сетей Петри называемая теорией комплектов, рассматривает в качестве основного понятия наборы элементов произвольной природы, в отличие от множества, допускающие присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента, отношение включения в этой теории заменено функцией числа экземпляров: — целое число вхождений элемента в мультимножество , при объединении комплектов число экземпляров элементов берётся по максимуму вхождений (), при пересечении — по минимуму ()[43]. Используется в теоретической информатике, искусственном интеллекте, теории принятия решений.
Альтернативная теория множеств[англ.] — теория, развиваемая чехословацкими математиками с 1970-х годов, в основном в работах Петра Вопенки (чеш. Petr Vopěnka)[44], основывающаяся на чёткой формализации множества как объекта, индуктивно построимого из пустого множества и заведомо существующих элементов, для свойств объектов, допускающих рассмотрения их в целой совокупности, вводится понятие классов, а для изучения подклассов множеств используется концепция полумножеств[англ.].
В культуре
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Berlin-Uhr_Budapester_Str_45_%28Charl%29_Berlin-Uhr.jpg/220px-Berlin-Uhr_Budapester_Str_45_%28Charl%29_Berlin-Uhr.jpg)
В 1960—1970-е годы в рамках
Также в большей степени под культурным, нежели содержательным влиянием теории множеств немецким дизайнером
Примечания
- ↑ Множеств теория / П. С. Александров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978. «<…>явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.) <…> оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики»
- «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 382.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 39.
- ↑ C. F. Gauss. Disquititiones arithmeticae. — Lipsiae, 1801.
- ↑ Медведев, 1965, с. 15—17.
- ↑ Медведев, 1965, с. 22—23.
- ↑ Медведев, 1965, с. 24.
- Дедекинд, уже после смерти Дирихле
- ↑ Медведев, 1965, с. 24—27.
- ↑ Медведев, 1965, с. 28—32.
- ↑ Медведев, 1965, с. 74—77.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 39—40.
- ↑ Медведев, 1965, с. 61—67.
- ↑ Медведев, 1965, с. 86—87.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40.
- ↑ Медведев, 1965, с. 94—95.
- ↑ Кантор, 1985, 2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262, с. 18—21.
- ↑ Кантор, 1985, 5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), с. 40—141.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 40—41.
- ↑ Медведев, 1965, с. 103—105.
- ↑ Медведев, 1965, с. 107—110.
- ↑ Медведев, 1965, с. 113—117.
- ↑ Медведев, 1965, с. 126—131.
- ↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen?. — Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. — 60 p. Архивировано 13 мая 2013 года.
- ↑ Доказана независимо Эрнстом Шрёдером и Феликсом Бернштейном в 1897 году
- ↑ Медведев, 1965, 14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда, с. 144—157.
- ↑ Кантор, 1985, 10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246, с. 173—245.
- ↑ Медведев, 1965, 17. Новый взлёт Кантора, с. 171—178.
- ↑ Медведев, 1965, с. 133—137.
- ↑ Бурбаки, 1963, «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году, с. 44,49.
- ↑ Бурбаки, 1963, Парадоксы теории множеств и кризис оснований, с. 44—53.
- ↑ Не опубликовано, сообщено в письме Гильберту
- ↑ Медведев, 1965, с. 177—179.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 44.
- ↑ 1 2 Бурбаки, 1963, с. 46.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 61.
- ↑ Бурбаки, 1963, с. 46—47.
- ↑ Символ (от греч. εστι — «быть») введён Пеано.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 176—211, 305—327.
- ↑ Куратовский, Мостовский, 1970, с. 273—303.
- 27 ноября 2007 года.
- ↑ А. Б. Петровский. Пространства множеств и мультимножеств. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 248. — ISBN 5-7262-0633-9. Архивировано 24 сентября 2015 года.
- ↑ Джеймс Питерсон. Обзор теории комплектов // Теория сетей Петри и моделирование систем = Petri Net Theory and The Modelling of Systems. — М.: Мир, 1984. — С. 231—235. — 264 с. — 8400 экз.
- ↑ П. Вопенка. Математика в альтернативной теории множеств = Mathematics in The Alternative Set Theory / перевод А. Драгалина. — М.: Мир, 1983. — 152 с. — (Новое в зарубежной математике). — 6000 экз.
- ↑ M. Schuijer. Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. — Rochester: University Rochester Press, 2008. — 306 p. — ISBN 978-1-58046-270-9.
Литература
- Аксиоматические теории множеств / В. Г. Кановей // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
- Г. Кантор. Труды по теории множеств. — М.: Наука, 1985. — 430 с. — (Классики науки). — 3450 экз..
- ISSN 0042-1316.
- К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
- Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. — М.: Наука, 1965. — 232 с. — 2500 экз.
- А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина. — М.: Мир, 1966. — 556 с.