Кольцо (математика)
Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в
Понятие кольца[2] было введено для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся.
Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, алгебраической -теории, теории инвариантов.
История
Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 1860—1870-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел. Решение этой задачи было опубликовано
.Этот раздел исправив и дополнив его. |
Определение
Кольцо — множество , на котором заданы две бинарные операции: и (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых :
- — коммутативностьсложения;
- — ассоциативностьсложения;
- — существование нейтрального элемента относительно сложения;
- — существование противоположного (обратного) элемента относительно сложения;
- — ассоциативность умножения;
- — дистрибутивность.
Иными словами, кольцо — универсальная алгебра , являющаяся абелевой группой относительно сложения , полугруппой относительно умножения и обладающая двусторонней дистрибутивностью относительно .
Часто отдельно изучаются кольца, обладающие одним или обоими следующими дополнительными свойствами:
- наличие единицы: (кольцо с единицей);
- коммутативность умножения: (коммутативное кольцо);
Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей[4] (то есть требуют, чтобы полугруппа была моноидом), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы[5]).
Вместо символа часто используют символ (либо вовсе его опускают).
Группа называется аддитивной группой кольца , а полугруппа — мультипликативной полугруппой этого же кольца.
Простейшие свойства
Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:
- относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
- для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
- нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
- , то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
- , где — элемент, обратный к по сложению;
- ;
- [6][5].
Основные понятия
Виды элементов кольца
Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальнымделитель нуля — ненулевой элемент кольца для которого существует ненулевой элемент кольца , такой что . Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Например, для кольца непрерывных функций на интервале выбрав и будет иметь место , то есть и являются делителями нуля. Здесь условие означает, что является функцией, отличной от нуля, но не означает, что нигде не принимает значение [7].
). Тогда левыйНильпотентный элемент — элемент такой что для некоторого . Пример: матрица . Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно[8].
Если — произвольный элемент кольца с единицей то левым обратным элементом к называется такой, что . Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается . Сам элемент называется обратимым элементом.[7]
Подкольцо
Подмножество называется подкольцом если само является кольцом относительно операций, определённых в . При этом говорят, что — расширение кольца [10]. Другими словами, непустое подмножество является подкольцом, если:
- является аддитивной подгруппой кольца , то есть для любых ,
- замкнуто относительно умножения, то есть для любых .
По определению, подкольцо
Подкольцо наследует свойство коммутативности[12].
Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество называется подкольцом, порождённым , а — системой образующих для кольца . Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих , удовлетворяет этому определению[11].
Подкольцо кольца с единицей , порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца . Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца [13].
Идеалы
Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории групп[14].
Непустое подмножество кольца называется левым идеалом, если:
- является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из принадлежит а также ;
- замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого верно .
Из первого свойства следует и замкнутость относительно умножения внутри себя, так что является подкольцом.
Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.
Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.
Также идеал кольца может определяться как ядро некоторого гомоморфизма [15].
Если — элемент кольца , то множество элементов вида (соответственно, ) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым . Если кольцо коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый обозначается . Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными[16].
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется
Гомоморфизм
Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца в кольцо — функция такая что
- ,
- .
В случае колец с единицей иногда требуют также условия [18][19].
Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом[20].
Если — гомоморфизм колец, множество элементов переходящих в ноль, называется ядром (обозначается ). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом[21]. С другой стороны, образ не всегда является идеалом, но является подкольцом [15] (обозначается ).
Факторкольцо
Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца по двустороннему идеалу — множество
- ,
- .
Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм , задаваемый как . Ядром при этом является идеал .
Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть тогда изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма [22].
Некоторые особые классы колец
- Кольцо с единицей , в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом[23].
- Коммутативное тело называется полем[24]; иначе говоря, поле — коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов[8][25].
- Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом)[26]. Любое поле является областью целостности, но обратное неверно[27].
- Целостное кольцо , не являющееся полем, называется евклидовым, если на кольце задана норма такая, что:
- для любых ненулевых верно, что ;
- для любых ненулевых существуют такие, что и или [26].
- Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов; всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов[12].
- Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом, например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное[28].
Примеры
- — терминальный объект.
- — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебрунад . Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.[29][30]
- — конечное кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое.[31] Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел.
- — кольцо характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисели p-адических чисел где p — произвольное простое число[32].
- Для произвольного коммутативного кольца можно построить кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в [11]. В частности, . Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: .
- Кольцо подмножеств множества — кольцо, элементами которого являются подмножества в . Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:
- .
- Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё . Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть . Любой элемент является своим обратным по сложению: . Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей[5].
Конструкции
Прямое произведение
Произведение колец и можно снабдить естественной структурой кольца: для любых , :
- ,
- .
Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно)[33].
Пусть — коммутативное кольцо и — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их
сюръективно, а его ядро — (
Кольцо эндоморфизмов
Множество эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо, обозначаемое . Сумма двух эндоморфизмов определяется покомпонентно: , а произведение — как композиция: . Если — неабелева группа, то , вообще говоря, не равно , тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным[34].
Поле частных и кольцо частных
Для
- тогда и только тогда, когда ,
с обычными операциями: и .
Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходится воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца: мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит) — кольцо частных — множество классов эквивалентности формальных дробей по отношению эквивалентности:
- тогда и только тогда, когда существует , такое что .
Также эту конструкцию называют
Существует естественное отображение . Его ядро состоит из таких элементов , для которых существует , такое что . В частности, для целостного кольца это отображение
.Категорное описание
Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию, обычно обозначаемую (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают ). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она
Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R-модуль. Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства: грубо говоря, модуль — «векторное пространство над кольцом».[29][30]
Специальные классы колец
- Артиново кольцо
- Дедекиндово кольцо
- Дистрибутивное кольцо
- Дифференциальное кольцо
- Кольцо главных идеалов
- Евклидово кольцо
- Кольцо Безу
- Кольцо Ли[англ.]
- Конечное кольцо
- Локальное кольцо
- Нётерово кольцо
- Область целостности
- Область главных идеалов
- Первичное кольцо
- Полулокальное кольцо
- Полупервичное кольцо
- Полупростое кольцо
- Полуцепное кольцо
- Простое кольцо
- Упорядоченное кольцо
- Факториальное кольцо
- Цепное кольцо
Обобщения — неассоциативное кольцо, полукольцо, почтикольцо.
Структуры над кольцами
- Алгебра над кольцом
- Бимодуль над кольцом
- Модуль над кольцом
Примечания
- ↑ Винберг, 2011, с. 17—19.
- ↑ Бельский А., Садовский Л. Кольца // Квант. — 1974. — № 2. Архивировано 1 сентября 2004 года.
- ↑ Erich Reck. Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01. Архивировано 2 декабря 2013 года.
- ↑ Атья, Макдональд, 1972, с. 9.
- ↑ 1 2 3 4 Винберг, 2011, с. 18—19.
- ↑ Курош, 1968, с. 273—275.
- ↑ 1 2 Ван дер Варден, 1975, с. 51—53.
- ↑ 1 2 Атья, Макдональд, 1972, с. 11.
- ↑ Ван дер Варден, 1975, с. 359.
- ↑ Винберг, 2011, с. 407.
- ↑ 1 2 3 Куликов, 1979, с. 110—111.
- ↑ 1 2 Винберг, 2011, с. 21.
- ↑ Куликов, 1979, с. 437.
- ↑ Ван дер Варден, 1975, с. 64.
- ↑ 1 2 Фейс, 1977, с. 153.
- ↑ Куликов, 1979, с. 430—431.
- ↑ Винберг, 2011, с. 406.
- ↑ 1 2 Фейс, 1979, с. 10.
- ↑ Винберг, 2011, с. 388.
- ↑ Куликов, 1979, с. 107—108.
- ↑ Куликов, 1979, с. 432.
- ↑ Винберг, 2011, с. 387—390.
- ↑ Винберг, 2011, с. 523.
- ↑ Фейс, 1977, с. 152.
- ↑ Куликов, 1979, с. 430.
- ↑ 1 2 Винберг, 2011, с. 118.
- ↑ Атья, Макдональд, 1972.
- ↑ Курош, 1968, с. 266.
- ↑ 1 2 Фейс, 1977.
- ↑ 1 2 Фейс, 1979.
- ↑ Винберг, 2011, с. 28—34.
- ↑ Ван дер Варден, 1975, с. 509—512.
- ↑ Ван дер Варден, 1975, с. 33.
- ↑ Ван дер Варден, 1975, с. 173.
- ↑ Ван дер Варден, 1975, с. 450—452.
- ↑ Курош, 1968, с. 305—311.
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
- Бельский А., Садовский Л. Кольца. // Квант № 2, 1974.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
- Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
- Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). — М.: Наука, 1978. — 255 с.
- Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры.. — М.: Наука, 1968. — 431 с.
- Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
- Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.
- Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 190 с.