Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование, которое для функции
имеет вид:
![{\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328f5a7b90e011ad72ad060e4db821f5f51d111b)
где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а
меняется в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.
Данное преобразование является
цепными дробями
.
Если
ограничена
на
![{\displaystyle (0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da17102e4ed0886686094ee531df040d2e86352a)
, то справедлива формула обращения:
![{\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}}\right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}F(x)\right),\quad x>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4475363a9b96a4ff7e441083ca038f268d3d2a15)
Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом.
Итерирование преобразования Лапласа
Обозначим прямое преобразования Лапласа функции
(переменной
) как функцию новой переменной
как
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d307fda130f2a0ebc2c3711e6577f52dc68445)
Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18bb78c63d8933d80ac908182b22707c6236594)
представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интеграла по
).
Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственно из свойств преобразования Лапласа.
Основные свойства и теоремы
Обозначим преобразование Стилтьеса функции
как
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6118855344e8ef61abfdc4a552359b9fc8286c)
Соответствующее обратное преобразование обозначим как:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dc3b9cafae0121c9694648a5ebc3daf4db573e)
- Умножение оригинала на переменную
В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edef7e779ebfd98da197cf2ea8dc5e5593c5dfe)
- Разностная производная образов
![{\displaystyle {\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{\frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operatorname {arg} (\alpha )|<\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81c158e2c0812a9eaeb95207da809df519a916c)
- Разностная производная оригиналов
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2}}\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a}}\right)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331a033a12bc1e4fbd7bb0845efae67a2ab2a825)
При масштабировании переменной оригинала в
раз переменная образа также масштабируется в
раз:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0a7cad431b3d1b05091e82626b0c6984b1699d)
- Дифференцирование оригинала
Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0720aef66bc0d791441b8f7861cc7e7603e29069)
Обобщения
Обобщённое преобразование Стилтьеса
![{\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282b6fe390fa0fcfbd6cc3e0209a91a3471f5363)
Интегрированное преобразование Стилтьеса
![{\displaystyle F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau ,x)f(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f15c45027a2734b3fc14cd64adf4034d27a7f1)
где
![{\displaystyle K(\tau ,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x}}}{\tau -x}},&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590ee92e88ed5377d4b3ff214069b75b63a722e3)
Литература
- Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970
![Перейти к шаблону «Интегральное исчисление»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Основное | |
---|
Обобщения интеграла Римана | |
---|
Интегральные преобразования | |
---|
Численное интегрирование | |
---|
Теория меры | |
---|
Связанные темы | |
---|
Списки интегралов | |
---|