Преобразование Конторовича — Лебедева — интегральное преобразование, задаваемое для функции формулой:
где —
функция Макдональда
. Обратное преобразование имеет вид:
Впервые данное преобразование было рассмотрено М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым в 1938 году.
Другие определения
Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:
Ещё одним вариантом определения является:
Условия обратимости
Пусть функция является непрерывной вместе со своей производной, удовлетворяющая условиями , тогда она может быть получена из своего образа посредством обратного преобразования:
Более общая формула обращения может быть получена, если имеет ограниченное изменение в точке и
тогда:
- ,
в частности если, кроме того, для любого выполнено:
- ,
то
Теорема Парсеваля
Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог теоремы Парсеваля:
Пусть —
вещественная функция
, удовлетворяющая условиям:
тогда
Справедлива и более общая теорема:
Пусть — две
вещественные функции
, удовлетворяющая условиям:
тогда
Таблица преобразований
|
Функция
|
Образ
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
10
|
|
|
11
|
|
|
12
|
|
|
Конечное преобразование Конторовича — Лебедева
Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:
где —
функция Инфельда
.
Литература
- Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физмагиз, 1961.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970
|
---|
Основное | |
---|
Обобщения интеграла Римана | |
---|
Интегральные преобразования | |
---|
Численное интегрирование | |
---|
Теория меры | |
---|
Связанные темы | |
---|
Списки интегралов | |
---|