Преобразование Хартли (Hartley transform) —
интегральное преобразование, тесно связанное с
преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни
вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье
Р. Хартли в
1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.
Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен Рональдом Брейсуэллом[англ.] в 1983 году.
Определение
Прямое преобразование
Преобразование Хартли
рассчитывается по формуле
- где
— ядро Хартли.
Обратное преобразование
Обратное преобразование получается по принципу инволюции:
![{\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570cedbcd17c57156d0a7d96f2d671922d4911de)
Уточнения
- Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент
для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
- Можно использовать коэффициент
вместо
, полностью опустив коэффициент
;
- Можно использовать .
Связь с преобразованием Фурье
Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.
В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро
- где
— мнимая единица.
Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то
![{\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e44fed4e4522adcceae61d5ae16262de106cfe)
Для вещественных функций
преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:
- где
и
— действительная и мнимая часть функции соответственно.
Свойства
Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор
Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции
и
имеют преобразования Хартли
и
соответственно, то их свёртка
будет иметь преобразование
![{\displaystyle Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3a625c2b8c7e5aff654cbb3970760fb3ce0918)
Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться
чётной или нечётной функцией
в зависимости от характера преобразуемой функции.
Cas
Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как
![{\displaystyle {\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929368684a2041e4c31fb5efc6cedfc287990538)
то
и
![{\displaystyle {\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2102dbe5787da94a55303c86e7600b2333cda4)
Производная ядра равна
![{\displaystyle {\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos(a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc8632f6c42f70d0e02954ab6f74f827c3506c4)
Литература
- РОНАЛЬД Н. БРЕЙСУЭЛЛ Преобразование Фурье [1] Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine
- Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems Архивная копия от 2 июня 2008 на Wayback Machine, Proc. IRE 30, 144—150 (1942).
- Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) (also translated into Japanese and Polish)
- Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (also translated into German and Russian)
- Bracewell, R. N., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 381—387 (1994).
- Millane, R. P., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 413—428 (1994).
- Villasenor, John D., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 391—399 (1994).
![Перейти к шаблону «Интегральное исчисление»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Основное | |
---|
Обобщения интеграла Римана | |
---|
Интегральные преобразования | |
---|
Численное интегрирование | |
---|
Теория меры | |
---|
Связанные темы | |
---|
Списки интегралов | |
---|