История математики в Армении

История математики в Армении берёт начало ещё со времён Урартского царства (IX—VII века до н. э.), когда использовались десятичная и шестидесятеричная системы счисления, и роль цифр исполняли клинописи. Сравнение арифметики в древней Армении с урартской указывает на их непосредственную связь. Следы урартской арифметики заметны в древней Армении ещё в эпоху, когда жил и работал Анания Ширакаци, и в арифметике, использовавшейся позже➤.

Уже после создания

В период XVII—XIX веков, армяне диаспоры открывали армянские школы, в которых велось преподавание в том числе и математики. В этот период активным образом издавались математические книги на армянском языке. В целом, в период XVII—XIX веков, было издано около 90 учебников и пособий армянских авторов➤.

В XX веке в

Самые древние источники о математических знаниях на

целые числа, а также дробные числа, и с ними производились операции сложения и вычитания^[1]. Ниже приведены несколько примеров чисел, взятых из царских надписей Сардури II, где единицы — , десятки — , сотни — , тысячи — ^[3]

:

Примеры урартских клинописных цифр

23 — 8135 — 25000 — 6000 — 2500 — 12300 — 32100 —

Урартийцы, высоко оценивая ассиро-вавилонскую культуру, перенимают у них клинообразные письмена, создают свою письменность и литературу, использованием клинообразных цифр вводят в употребление и делают обиходными крупные числа[4]. Сравнение арифметики в древней Армении с урартской, указывает на их непосредственную связь^[4].

О математических знаниях армян, особенно в V—VI веках, можно составить представление, с одной стороны, судя по

Дошедшие до нас древние математические труды на армянском языке связаны с именем крупнейшего армянского учёного VII века, основоположника древнеармянского естествознания Анании Ширакаци. То, что до Анании Ширакаци (в V—VI веках) существовали армянские математики и математические труды на армянском языке, очевидно из одного его свидетельства. Во введении к таблицам сложения, Анания Ширакаци упомянул, что он переписывает в кратком виде труды своих предков:

Цель моя, о, любители мудрости и желающие учиться у меня: представить творчество наших предков — искусство осмысления, как живой голос доброго учителя. Учитесь на моих таблицах, хотя и изложил я их кратко, представив немного из многого.

Оригинальный текст (арм.)

«Արձանացուցանել ձեզ զջանս նախնեաց զարուեստս համարողութեան: <…> Ուսուցանիջիք իմոցս գծագրեացս թէպէտ և կարճառօտ կարգեցի զսակաւս ի բազմաց…»

— Анания Ширакаци^[9][10]

Анания Ширакаци внёс большой вклад в математику. Им был составлен учебник арифметики, состоящий из нескольких частей: таблицы с операциями сложения и вычитания, таблицы с операциями умножения и деления, таблицы чисел вида ${\displaystyle {\frac {6000}{n}}}$, где ${\displaystyle n}$ пробегает все значения букв армянского алфавита, а частные округляются до целого числа (Шеститысячник, арм. «Վեցհազարյակ»). В Армении также имелись аналогичные таблицы для чисел вида ${\displaystyle {\frac {5000}{n}}{,}~{\frac {4000}{n}}}$ и некоторых других^[11]. Задачник, составленный Ширакаци состоит из 24 задач с ответами и из задач с занимательным содержанием (арм. «Խրախճանականներ»). Почти во всех задачах из задачника, отражена жизнь армянского народа: или в условиях говорится о событиях армянской истории, или применяются армянские меры^[11]. Задачи — линейные, с одним неизвестным, в одной (№ 22) требуется разделить величину в арифметической прогрессии. Встречающиеся в задачах дроби записаны в виде сумм долей единицы^[11].

В начале VII века в Византии, государственной религией которой было христианство, начинается серьёзная борьба против языческой науки и её представителей. В связи с этими событиями, значение естественных наук и математики в Армении сильно падает. Об этом пишет Анания Ширакаци в своей автобиографии^[12][13].

Историками науки показано, что начиная с I века до н. э., в Армении применяли следующие меры длины^[14]: аспарез (по воздуху), равный ${\displaystyle 107{\frac {1}{7}}}$ шагам, аспарез (по земле) — ${\displaystyle 142{\frac {6}{7}}}$ и ${\displaystyle 150}$ шагам, градус, заключающий в себе ${\displaystyle 500}$ аспарезов. Миля составляла ${\displaystyle 7}$ аспарезов и в одном случае равнялась ${\displaystyle 1000}$ шагам, в другом — ${\displaystyle 1050}$, а шаг — ${\displaystyle 6}$ ступням, ступня — ${\displaystyle 16}$ пальцам. В VII веке в Армении длину между двумя городами мерили милями, а расстояние между планетой и Землёй — аспарезами^[15]. Вся информация о мерах длины была написана в труде Анании Ширакаци «Ашхарацуйц» (арм. Աշխարհացույց)^[16].

Продолжателем традиций Ширакаци является известный византийский математик и механик армянского происхождения Лев Математик (ок. 790 — ок. 869). В Константинополе он занимался преподаванием математики, а в 863 году создал и стал первым ректором Константинопольского университета. В математике Лев систематически применял буквы как арифметические символы, тем самым предвосхищая становление алгебры; он значительно упростил сложную символику Диофанта и сделал дальнейший шаг в развитии алгебраического направления в математике^[17]. Большой вклад в области математического образования конца XI начала XII века имеет Ованес Имастасер (Любомудрый), известный также как Иоанн Саркаваг (1045/55—1129). Из его математических трудов видно, что в армянских средневековых школах помимо практической, изучали также теоретическую арифметику — теорию чисел. Один из его трудов включает в себя армянскую версию таблиц умножения Пифагора. Его сочинение «Многоугольные числа» опиралось на «Арифметику» Никомаха^[11]. Ованес Имастасер является автором труда «Полигональные числа», который использовался в качестве учебника в XI—XII веках^[18].

Математическое образование в Армении достигло высокого уровня к XI—XIV веках в армянских средневековых университетах: в Гладзорском университете (основан в 1282 году), в Татевском университете (основан в 1373 году), также в школах Ани, Ахпата и в других учебных заведениях, в том числе и за пределами Армении^[1].

Также, продолжателем традиций Ширакаци является византийский математик армянского происхождения XIV века Николай Рабдас Артавазд^[19]. Сохранились два его письма на греческом языке. В одном из них говорится о том, как можно представить пальцами руки числа от 1 до 9999, а в другом — об извлечении квадратного корня из чисел^[20].

В армянских школах использовались труды греческих классиков. Армянские учёные занимались переводами этих трудов.

В XVII—XVIII веках вопросами математической науки также занимались историки-философы. Больши́е части их изданных трудов были посвящены проблемам арифметики и геометрии[25]. В данный период были изданы многие книги, важные для математики и математического образования.

Первая

.

Страницы из армянских математических книг

Титульная страница первой печатной математической книги на армянском языке «Искусство счисления». 1675 год, Марсель		Чертежи из армянской редакции XVII века «Начал» Евклида

В армянской математической литературе XVII—XVIII веков во множестве случаев используются русские термины. Написанные в

Большое значение имеют труды Гукаса Тертерянца, изданные в Вене. В 1843 году издаются сразу два учебника: «Арифметика» и «Простая Геометрия». В 1846 году издаётся книга «Тригонометрия и конические сечения», объёмом 134 страницы^[38]. Вторая часть книги посвящена аналитической геометрии. В конце книги представлены 34 геометрических чертежа.

В целом, в период XVII—XIX веков, было издано около 90 учебников и пособий армянских авторов^[39].

В 1921 году в Ереване был основан армянский университет^[40]. Преподавание высшей математики начали со дня основания университета на техническом факультете и факультете естествознания, а математиков готовили начиная с 1924 года на физико-математическом отделе педагогического факультета^[40]. Но в период 1921—1933 годов, в университете готовили только учителей математики для общеобразовательных и средних профессиональных школ^[41]. Уже после 1933 года физико-математический факультет Ереванского государственного университета стал действительно университетским факультетом с 5-летним учебным планом, где стали готовить учёных-математиков^[41]. В 1959 году физико-математический факультет был разделён на механико-математический и физический факультеты. С 1963 года на механико-математическом факультете начали готовить учёных в области математической кибернетики, а в 1972 году был создан факультет прикладной математики и информатики^[42].

Самостоятельная научно-творческая деятельность в области математики в

• 
  Здание Президиума

  Национальной академии наук Республики Армения
• 
  Здание Ереванского государственного университета
• 
  Здание Национального политехнического университета Армении

10 ноября 1943 года — в самый разгар

У истоков создания армянской математической школы стоял

Исследования вопросов о полноте полиномов в комплексной области в Армении были начаты в конце 1930-х годов Арташесем Шагиняном^[53] и активным образом продолжались в 1940-х годах им, академиками АН Армянской ССР Мхитаром Джрбашяном (1918—1994) и Сергеем Мергеляном (1928—2008)^[54][55]. Была исследована возможность приближения функций полиномами, а также вопросы о наилучшем приближении, относительно интегральной и равномерно-весовой метрик^[54]. В случае интегральных метрик, были получены точные признаки для некоторых широких классов областей. Было также получено полное решение равномерно-весового полиномного приближения для действительной оси^[54]. Так, со второй половины 1940-х годов, началась организация армянской математической школы теории функций^[54].

Сергеем Мергеляном было получено решение для равномерного приближения

В 1950-х годах Мхитаром Джрбашяном были начаты исследования среднего, равномерного и касательного приближений целыми функциями, которые получили окончательное решение в 1960—1970-х годах^[54]. Полностью были решены задачи о равномерном приближении аналитическими (частично целыми) функциями, и описание скорости касательного приближения^[54].

Академиком АН Армянской ССР Норайром Аракеляном были получены решения нескольких общих задач о наилучших приближениях целыми функциями. Эти работы Норайра Аракеляна были отмечены премией Ленинского комсомола^[54]. Результаты работ были успешно применены в теории распределения значений^[54]. Начиная с 1970-х годов, Мхитаром Джрбашяном и другими были осуществлены исследования полноты и базисности некоторых систем аналитических функций^[54]. Норайром Аракеляном были получены ценные результаты о взаимосвязи вопросов о классическом аналитическом продолжении и теории комплексного приближения^[54].

Серьёзные исследования в области теории функций в Армении начались в 1945 году, когда Мхитаром Джрбашяном была построена теория факторизации неограниченных мероморфных функций в области

. В 1963 году Джрбашяном были определены новые классы мероморфных функций, связанных с функциями на ${\displaystyle (-1,+\infty )}$, которые в состоянии включить произвольные мероморфные функции в круге, а также была разработана теория параметрического представления данных функций

Исследования в этой области произвёл и академик НАН РА Ваник Захарян. Мхитаром Джрбашяном и Ваником Захаряном были исследованы граничные свойства подклассов мероморфных функций ограниченного вида^[54].

Вопросами дефектных значений общих и мероморфных функций занимался Норайр Аракелян^[54]. Впервые использовав методы теории приближений, Норайр Аракелян опровергнул известную гипотезу Рольфа Неванлинны о дефектных значениях целых функций конечного порядка^[54].

В геометрической теории мероморфных функций и в теории распределения значений новые результаты получил Григорий Барсегян, разработав теорию Неванлинны — Альфонса^[54].

В исследованиях теории аналитических функций важное место занимают вопросы о единственности, в том числе о квазианалитичности^[54]. Разрабатывая известные результаты Лоренца Ланделёфа, Арташес Шагинян получил «внутренние» интегральные признаки для аналитических функций в круге, которые в дальнейшем распространил на мероморфные функции в круге^[54]. Некоторые из этих результатов Ваник Захарян распространил на классы Джрбашяна^[54].

Мхитар Джрбашян, основываясь на своей теории гормонального анализа в комплексной области, обобщил классическую идею о квазианалитичности Данжуа — Карлемана, построив теорию ${\displaystyle \alpha }$-квазианалитичных классов^[54].

Важные исследования в области квазианалитических функций имеет Гайк Бадалян^[56]. Бадалян ввёл некоторое обобщение понятия производной и, опираясь на него, построил специальные ряды, более общие, чем тейлоровские^[56]. Эти ряды оказались подходящим аналитическим средством для представления функций некоторых квазианалитических классов^[56].

Исследования в области функций действительного переменного (аналитических функций) в Армении начались в 1950-х годах^[54]. В начальном периоде исследования, в основном, относились к вопросу о представлении измеримых функций ортогональными (в частности — тригонометрическими) рядами и к вопросу о единственности этих рядов^[54]. В этой области осуществил исследования академик НАН РА Александр Талалян (1928—2016)^[54]. Талалян доказал общие теоремы, согласно которым, рядами полных ортогональных систем могут быть представлены все измеримые функции^[54]. С 1965 года под его руководством ведутся исследования общих ортогональных систем и базисов^[57]. Получены важные результаты о существовании универсальных (в различных смыслах) ортогональных рядов^[57]. Решена задача восстановления рядов Уолша, сходных с интегрируемыми функциями, и доказаны такие теоремы единственности типов Кантора и Валле Пуссена для систем Гаара и Уолша, сходные с которыми, для триганометрических систем не существовали или не были известны до того^[57].

Некоторые исследования в области теории функций комплексного переменного произвёл Гайк Бадалян^[58]. Задача Сеге о покрытии отрезков была решена Гайком Бадаляном для ограниченных функций из класса ${\displaystyle S}$^[58].

Исследования в области функционального анализа начались в 1950-х годах в Ереванском университете и в Институте математики АН Армянской ССР, и были посвящены вопросу о сходстве граничных задач нового типа в гильбертовом пространстве с задачей Коши^[57]. Эти исследования осуществил академик АН Армянской ССР Рафаэль Александрян (1923—1988)^[57]. За цикл работ «Математические исследования по качественной теории вращающейся жидкости» он был удостоен Государственной премии СССР. В дальнейшем, несколькими учёными была расширена тематика исследований в областях функционального анализа и интегрального и дифференциального исчислений^[57]. Основными направлениями исследований были: теория операторов, операторные уравнения, спектральная теория самосопряжённых операторов^[57]. Была разработана идея ядра спектра, в особенности термин резольвенты произвольного самосопряжённого оператора, а также универсальный способ построения полной системы собственных функционалов и теоремы о спектральном анализе по данным функционалам^[57]. Были обнаружены асимптотические периодические условия решений нестационарных операторных уравнений некоторых классов, содержащих уравнение Шрёдингера^[57].

Впервые на обратные задачи спектрального анализа дифференциальных операторов и на их важность для приложений обратил внимание Виктор Амбарцумян (ему же принадлежит следующий первый результат в этих задачах: если для непрерывной функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ краевая задача ${\displaystyle y^{''}+\pi (x)y+\lambda y=0}$, где ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant \pi }$ и ${\displaystyle y^{'}(0)=y^{'}(\pi )=0}$, имеет спектр ${\displaystyle \lambda _{n}=n^{2}~(n=1{,}~2{,}~3{,}\cdots )}$, то ${\displaystyle \varphi (x)=0}$)

Некоторые из результатов о спектре дифференциального оператора ${\displaystyle L}$ в пространстве ${\displaystyle L(0,\infty )}$ перенесены академиком АН Армянской ССР, радиофизиком Радиком Мартиросяном на дифференциальные операторы в частных производных^[60].

Исследования в области интегрального и дифференциального исчислений начались в Армении в 1930-х годах^[57]. В этот период, армянские математики получили некоторые результаты о параболических уравнениях^[57]. Обобщённые исследования велись с 1948 года Рафаэлем Александряном^[57]. Основными темами исследований были эллиптические, гипоэллиптические, гиперболические, слабые гиперболические, интегральные (в том числе сингулярные интегральные) уравнения^[57]. Исследовались граничные задачи нового типа для некоторых неклассических систем дифференциальных уравнений, для уравнения колебания струны в области Дирихле; также было разработано понятие обобщённой собственной функции^[57]. Ишханом Саргсяном исследован спектральный анализ задачи Штурма — Лиувилля, а полученные результаты распространены на однородные системы Дирака^[57]. Также исследовались обратная задача Штурма — Лиувилля и обратная задача теории рассеяния при наличии уравнений высокого порядка^[57].

В областях теории вероятностей и математической статистики исследования в Армении начались в послевоенное время^[57]. Был получен ряд результатов по теории случайных процессов, а в дальнейшем — о критерии ${\displaystyle \chi ^{2}}$^[57].

В 1970—1980 годах, академиком АН Армянской ССР Рубеном Амбарцумяном было создано новое научное направление — комбинаторная интегральная геометрия^[57]. Комбинаторная интегральная геометрия успешно применялась в исследовании решений задач стохастической геометрии, в частности, решены задачи стереологии геометрических случайных процессов^[57]. Также, исследовались другие вопросы стохастической геометрии^[57].

Исследования в области алгебры начались в 1950-х годах. Исследовались вопросы о представлении квадратных матриц, об анализе некомпактных простых групп Ли, об исследовании тождеств второй степени в универсальных алгебрах и в алгебрах второй степени и другие^[61]. Систематическое применение бесконечных систем уравнений к решению конкретных задач математической физики, и в связи с этим, — развитие методов исследования и решения возникающих здесь систем, осуществлены в работах армянских математиков: Б. Л. Абраамяна, Е. А. Александрян, Н. Х. Арутюняна, Н. О. Гулканян, М. М. Джрбащяна, Б. А. Костандяна, Р. С. Минасяна, О. М. Сапонджяна, М. С. Саркисяна, К. С. Чобаняна^[62].

В начале нового тысячелетия в Армении основные математические исследования ведутся в Институте математики НАН РА и в Ереванском государственном университете. В первые годы работы, Институт математики НАН РА, занимался в основном теорией функций. Со временем, сфера исследований расширилась, и в настоящее время включает комплексный анализ, действительный анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию вероятностей, математическую статистику, математическую физику^[63].

В Армении издаются следующие математические журналы: «Известия НАН Армении: Математика» (Национальная академия наук Республики Армения, главный редактор — Артур Саакян)^[64], Армянский журнал математики (Национальная академия наук Республики Армения, главный редактор — Анри Нерсисян)^[65], Математика в высшей школе (Национальный политехнический университет Армении, главный редактор — Ваник Захарян), «Вестник ЕГУ. Серия физики и математики» (Ереванский государственный университет, главный редактор — Варужан Атабекян)^[66], также действует Армянский математический союз, который объединяет математиков страны^[67].

Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии.