Анализ бесконечно малых

Анализ бесконечно малых — историческое название

Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, в то время не было серьёзных разногласий по поводу приоритета математика (а, следовательно, и страны) на это новшество. Ньютон получил свои результаты первым, но Лейбниц первым опубликовал свои. Позже Ньютон стал утверждать, что Лейбниц украл его идеи из неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества. Эта полемика отделяла англоговорящих математиков от своих континентальных коллег на протяжении многих лет, в ущерб английской математике. Тщательное изучение работ Лейбница и Ньютона показало, что они получили свои результаты независимо друг от друга, Лейбниц начинал с интегрирования, а Ньютон с дифференцирования. Сегодня разработка исчисления засчитывается как Ньютону, так и Лейбницу. Название новой дисциплины мы получили от Лейбница. Ньютон называл своё исчисление «методы производных».

Со времён Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в дальнейшее развитие исчисления. Одной из первых наиболее полных работ по анализу конечных и бесконечно малых была книга, написанная в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези.^[9]

В математике основания относятся к строгому определению предмета, отталкиваясь от точных аксиом и определений. На начальном этапе развития исчисления использование

Исчисление^[уточнить] также используется для получения более точного представления о природе пространства, времени и движения. Веками математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или нахождением суммы бесконечного ряда чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и вычислении площадей. Древнегреческий философ Зенон Элейский дал несколько известных примеров таких парадоксов. Исчисление предоставляет инструменты для разрешения этих парадоксов, в частности, пределы и бесконечные ряды.

В XIX веке бесконечно малые были заменены пределами. Пределы описывают значение функции для некоторого входа с точки зрения его значения для соседнем входа. Они охватывают мелкомасштабные изменения, подобно как бесконечно малым, но используются для обычной системы вещественных чисел. В этой трактовке исчисление представляет собой набор методов для манипуляции некоторыми пределами. Бесконечно малые заменяются на очень небольшие числа, а бесконечно малые изменения функции находятся путём принятия предельного поведения при всё меньших и меньших числах. Пределы являются самым лёгким способом создать строгую основу для исчисления, и по этой причине они приняты в качестве стандартного подхода.

Введённые Лейбницем обозначения для производной выглядят так:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

В ньютоновском подходе, основанном на пределах, символ ${\displaystyle dy/dx}$ следует интерпретировать не как частное от деления двух чисел, а как сокращённое обозначение для вычисленного выше предела. Лейбниц же стремился представить его как отношение двух бесконечно малых чисел: ${\displaystyle dy}$ — дифференциала, то есть бесконечно малого изменения ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle dx}$ — бесконечно малого изменения ${\displaystyle x}$, вызвавшего изменение ${\displaystyle y}$^[10].

Даже при представлении исчисления с использованием пределов, а не бесконечно малых, обозначение является общим для манипулирования символами, как если бы ${\displaystyle dx}$ и ${\displaystyle dy}$ были реальными числами. Хотя, чтобы избежать подобных манипуляций, такие обозначения иногда удобно использовать в выражении операции, как, например, это применяется при обозначении полной производной.

• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Carl Benjamin Boyer (1949). The History of the Calculus and its Conceptual Development. Hafner. Dover edition 1959, ISBN 0-486-60509-4

• Weisstein, Eric W. «Second Fundamental Theorem of Calculus.» From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. Calculus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Topics on Calculus (англ.) на сайте PlanetMath.
• Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
• Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis — contains resources and links to other sites
• COW: Calculus on the Web at Temple University — contains resources ranging from pre-calculus and associated algebra
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Online Integrator (WebMathematica) from Wolfram Research
• The Role of Calculus in College Mathematics from ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus Архивная копия от 5 мая 2010 на Wayback Machine from the Massachusetts Institute of Technology
• Infinitesimal Calculus — an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel ed. .
• Elements of Calculus I and Calculus II for Business, OpenCourseWare from the University of Notre Dame with activities, exams and interactive applets.
• Calculus for Beginners and Artists by Daniel Kleitman, MIT
• Calculus Problems and Solutions by D. A. Kouba
• Solved problems in calculus
• Video explanations and solved problems in calculus Raymond, CUNY