Открытые математические проблемы

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

• Проблемы Гильберта
• Проблемы Ландау
• Проблемы тысячелетия
• Проблемы Смейла

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

• простых чисел?^[1]
• Проблема Варинга. Функция Харди ${\displaystyle G(n)}$ — наименьшее ${\displaystyle k}$ такое, что уравнение ${\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=N}$ разрешимо при ${\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}$. Значения этой функции известны только для ${\displaystyle n}$ равных 2 и 4.
• простых чисел-близнецов
  ?
• Гипотеза Била. Верно ли, что если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z},}$ где ${\displaystyle A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z}$ — натуральные и ${\displaystyle x,\;y,\;z>2}$, то ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ имеют общий простой делитель?
• Гипотеза Коллатца (гипотеза ${\displaystyle 3n+1}$).
• расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии
  ?
• Числа ван дер Вардена. При каком наименьшем ${\displaystyle N}$ при любом разбиении множества ${\displaystyle \{1,\;2,\;\ldots ,\;N\}}$ на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7?^[2]
• Существует ли параллелепипед Эйлера (параллелепипед со всеми целочисленными рёбрами и лицевыми диагоналями),
  главная диагональ которого также имеет целую длину?^[3]
• Три из четырёх гипотез Поллока.

• В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
• На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?^[4][5]
• Существует ли такая константа ${\displaystyle A}$, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь ${\displaystyle A}$, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?^[6]
• Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?^[7]
• Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?^[8][9]
• Найдётся ли на плоскости точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин единичного квадрата рационально?^[9][10]
• Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
• У любого ли выпуклого
  развёртка без самопересечений?^[11]
• Даны положительные действительные числа ${\displaystyle S_{0},\;\ldots ,\;S_{n}}$. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?^[источник не указан 2340 дней]
• Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?^[12]
• При каком минимальном ${\displaystyle V}$ любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма ${\displaystyle V?}$^[13]
• Чему равно хроматическое число ${\displaystyle n}$-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (
  Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера
  ).
• Задача Томсона
  . Как разместить ${\displaystyle n}$ одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для ${\displaystyle n=2,\;3,\;4,\;6,\;12}$)^[14]. Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из ${\displaystyle n}$ точек?
• Как разместить ${\displaystyle n}$ точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?^[15]
• Для каждой пары натуральных чисел ${\displaystyle (n,\;k)}$ найти такое наименьшее действительное число ${\displaystyle d(n,\;k)}$, что любое множество единичного диаметра в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве можно разбить на ${\displaystyle k}$ подмножеств диаметром не больше ${\displaystyle d(n,\;k)}$. Задача решена только в нескольких частных случаях^[16][17].
• Чему равна площадь множества Мандельброта, и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08^[18].
• Задача со счастливым концом. При каком минимальном ${\displaystyle m}$ среди любых ${\displaystyle m}$ точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого ${\displaystyle n}$-угольника, и верно ли, что ${\displaystyle m=1+2^{n-2}}$? Решение известно только для ${\displaystyle n<7}$. Результат для ${\displaystyle n=6}$ (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
• Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана, которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11^[19].
• В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?^[20]
• Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году^[21][22][23].
• Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?^{[источник не указан 2340 дней]}
• Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?^[24][25][26]
• Cуществует ли для каждого многоугольника и ${\displaystyle \epsilon >0}$ такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем ${\displaystyle \epsilon }$ от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?^[27]

• Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса ${\displaystyle R}$?^[28]
• Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?^[29]
• Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?^[29]

• Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью ${\displaystyle n>4}$? Эта задача решена лишь для ${\displaystyle n=8}$ (240) и ${\displaystyle n=24}$ (196 560)^[30][31].
• Задача плотнейшей
  упаковки шаров
  в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве для ${\displaystyle n>3}$. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки^[32]. Доказано также, что для ${\displaystyle n=8}$ и ${\displaystyle n=24}$ решётки кроме контактного числа реализуют также и плотнейшую упаковку шаров.
• Гипотеза Борсука. Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем ${\displaystyle n+1}$ часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1? Опровергнута для пространств размерности больше 63, доказана для пространств размерности меньше 4, для 4 ≤ n ≤ 63 проблема не решена.

• Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?^[7]
• Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
• Двенадцать нерешённых геометрических вопросов, связанных с задачами механики помещены в книге ^[33].

• Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы ${\displaystyle H}$ существует поле алгебраических чисел ${\displaystyle \mathbf {F} }$ такое, что ${\displaystyle \mathbf {F} }$ является расширением поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} /\mathbb {Q} )}$ изоморфна ${\displaystyle H}$.^{[источник не указан 4202 дня]}
• Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно^[34].
• Существует ли
  трансфинитно сверхпростой?^[35]
• Является ли
  кольцо периодов полем
  ?
• Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?^[36]
• Проблема Л. С. Понтрягина Пусть ${\displaystyle G}$ — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства ${\displaystyle \Gamma }$, гомеоморфного ${\displaystyle n}$ — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства ${\displaystyle \Gamma }$ на единичную сферу ${\displaystyle S^{n}}$ евклидова ${\displaystyle (n+1)}$ — мерного пространства, при котором группа ${\displaystyle G}$ переходит в некоторую группу движений сферы ${\displaystyle S^{n}}$?^[37].
• Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия
  группоидов, колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?^[38]
  .
• Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп[38].
• Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами?^[39]
• Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности ${\displaystyle M}$ иметь мощность ${\displaystyle {2}^{M}}$?^[40]
• Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп?^[41]
• Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца^[42].
• Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге^[43].
• Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество ${\displaystyle S}$ относительно дополнения в множестве ${\displaystyle \omega }$^[44]
• Формулировки ${\displaystyle 50}$ нерешенных проблем теории бесконечных абелевых групп приведены в книге^[45]

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках^[46][47][48].

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей^[49].

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп^[50][51].

Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей^[52].

• Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=1/2}$?^[53]
• Чему равна
  постоянная Миллса
  ? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
• До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e}$; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа ${\displaystyle \pi }$ бесконечное количество раз.
• Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?^[54]
• Является ли ${\displaystyle \ln 2}$ нормальным числом?^[55]
• Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (кроме тех, что созданы искусственно^[56]), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа ${\displaystyle \pi }$, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
• Сходятся ли ряды ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\cos ^{2}n}}?}$^[57] Оба ряда имеют спорадически маленькие значения в знаменателях, но первый ряд гипотетически сходится около 30,31, а второй — около 43.
• Гипотеза Бреннана. Пусть W — односвязное открытое подмножество ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как минимум с двумя граничными точками на полной плоскости комплексного пространства^[58]. Пусть ${\displaystyle \varphi }$ — конформное отображение W в открытый единичный диск. Гипотеза Бреннана утверждает, что

${\displaystyle \int _{W}|\varphi \ '|^{p}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y<\infty }$ при ${\displaystyle 4/3<p<4}$.

Бреннан доказал результат при ${\displaystyle 4/3<p<p_{0}}$ для некоторой константы ${\displaystyle p_{0}>3}$^[59]. Бертилсон доказал в 1999 году, что гипотеза верна при ${\displaystyle 4/3<p<3,422}$, но гипотеза в целом остаётся открытой^[60][61].

• Неизвестна
  постоянная Миллса, постоянная Хинчина
  , числа ${\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}},2^{e},e^{e},e^{e^{e}}.}$ Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом^{[62][63][64][65][66][67]}.
• Неизвестно, являются ли ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e}$ алгебраически независимыми.
• Неизвестно, являются ли ${\displaystyle {^{n}\pi }}$ или ${\displaystyle {^{n}e}}$
  целыми числами
  при каком-либо положительном целом ${\displaystyle n}$ (см. тетрация). Неизвестно даже, является ли ${\displaystyle {^{4}\pi }=\pi ^{\pi ^{\pi ^{\pi }}}}$ целым (это число имеет свыше 10¹⁷ цифр целой части, и прямое вычисление невозможно).
• Неизвестно, может ли ${\displaystyle {^{n}q}}$ быть целым, если ${\displaystyle n}$ — положительное целое число, а ${\displaystyle q}$ — положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях ${\displaystyle n=1,\,2,\,3}$ ответ отрицателен)^[68].
• Неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${\displaystyle {^{3}x}=2,\,x=1{,}476\;684\;33\dots }$ алгебраическим или трансцендентным числом (хотя известно, что он иррационален).
• Неизвестно, является ли положительный корень уравнения ${\displaystyle {^{4}x}=2,\,x=1{,}446\;601\;43\dots }$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Аналогичная проблема для тетрации любой большей высоты из любого числа, большего 1, также открыта.
• Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел: ${\displaystyle \pi ,\pi ^{2},\ln 2,\ln 3,\zeta (3)}$^[69].
• Неизвестно, является ли первое число Скьюза ${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}}$ целым числом.
• Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$ для всех натуральных ${\displaystyle n}$?
• Трансцендентны ли значения гамма-функции ${\displaystyle \Gamma (1/n)}$ для всех целых ${\displaystyle n>1}$? Известно, что Γ(1/2), Γ(1/3),^[70] Γ(1/4),^[71] и Γ(1/6) трансцендентны.^[71]
• Трансцендентны ли
  постоянные Фейгенбаума
  ?
• Трансцендентна ли постоянная Пелля?^[72]
• Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами — трансцендентна?
• Существуют ли Т-числа по классификации К. Малера?^[73][74]
• Список из нескольких нерешенных задач, связанных с гипотезой Малера, есть в книге^[75].

• Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
• Существование конечной проективной плоскости натурального порядка, не являющегося степенью простого числа.
• Гипотеза Эрдёша — Реньи. Если ${\displaystyle k}$ — фиксированное целое число ${\displaystyle k\geqslant 3}$, то ${\displaystyle \liminf(\mathrm {per} \,(A))^{\frac {1}{n}}>{1}}$ для ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle \Lambda _{n}^{k}}$. Здесь ${\displaystyle \mathrm {per} \,(A)}$ — перманент матрицы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Lambda _{n}^{k}}$ — множество всех ${\displaystyle (0,\;1)}$ — матриц порядка ${\displaystyle n}$ c ${\displaystyle k}$ единицами в каждой строке и каждом столбце^[76].
• Числа Рамсея
  ${\displaystyle N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)}$ для случая ${\displaystyle t>2}$ почти неизучены^[77].
• Задача нахождения минимума перманента дважды стохастической матрицы в общем случае не решена^[78].
• Не известны необходимые и достаточные условия, при которых существует общая трансверсаль для трёх семейств подмножеств^[79].
• Задача о числе монотонных булевых функций от ${\displaystyle n}$ аргументов^[80].

• Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия) — всякое ли выпуклое тело в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве может быть покрыто ${\displaystyle 2^{n}}$ меньшими гомотетичными ему телами?^[81]
• Список из ${\displaystyle 17}$ нерешённых проблем комбинаторной геометрии есть в книге^[82].
• Несколько десятков нерешённых задач комбинаторной геометрии есть в книге^[83].

• Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий ${\displaystyle n}$ вершин, из каждой вершины которого выходит не менее ${\displaystyle m}$ рёбер, имеет замкнутый контур длиной не более ${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil }$^[84].
• Гипотеза Хадвигера (теория графов) — каждый ${\displaystyle n}$-хроматический граф
  стягиваем
  к полному графу ${\displaystyle K_{n}}$^[85].
• Гипотеза
  Улама:^[86]
  • а) всякий граф более чем с двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
  • б) всякий граф более чем с тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
• Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра[86].
• В любом
  1-факторов
  так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.
• Гипотеза Рамачандрана — любой
  орграф
  ${\displaystyle N}$-реконструируем^[87].
• Гипотеза о восстановлении — если заданы классы изоморфизма всех ${\displaystyle k}$ примарных подграфов некоторого графа, то при ${\displaystyle k\geqslant 3}$ класс изоморфизма этого графа определяется однозначно^[88].
• Гипотеза Конвея о трекле — в любом трекле (сеть, в котором каждые два ребра имеют общую точку) число линий меньше или равно числу точек^[89].
• Гипотеза Рингеля — Коцига — все деревья являются грациозными.
• Гипотеза о двойном покрытии циклами — для любого графа без мостов существует мультимножество простых циклов, покрывающих каждое ребро графа в точности два раза.
• Проблема Кёнига — какие условия необходимы и достаточны, чтобы для заданной на множестве ${\displaystyle V}$ группы подстановок ${\displaystyle \Gamma }$ существовал такой граф ${\displaystyle G}$ с множеством вершин ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle AutG=\Gamma }$^[90]
• Большое количество нерешённых проблем теории графов есть в статье^[91].
• бикубический полиэдральный граф является гамильтоновым
  .
• Неизвестно значение поискового числа графа в общем случае.