Ортодромия

Ортодро́мия, ортодро́ма (от др.-греч. «ὀρθός» — «прямой» и «δρόμος» — «бег», «путь»^[1]) в геометрии — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения, частный случай геодезической линии.

В

В большинстве картографических проекций ортодромии изображаются кривыми линиями (за исключением, быть может, меридианов и экватора). Это неудобно для прокладки кратчайших маршрутов. В гномонической проекции все ортодромии изображены прямыми линиями.

Ортодромия на картах в проекции Меркатора, если она не совпадает с меридианом или экватором, — это кривая, обращённая выпуклостью к ближайшему полюсу^[2].

Длина, угловая длина, начальный и конечный азимуты, широты промежуточных точек ортодромии рассчитываются по следующим формулам (выводятся с помощью соотношений сферической тригонометрии)^[3].

Угловая длина ортодромии: ${\displaystyle \delta =\arccos(\sin \varphi _{1}\cdot \sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \cos(\lambda _{2}-\lambda _{1})).}$

Длина ортодромии: ${\displaystyle D=l\cdot \delta .}$

Начальный азимут: ${\displaystyle \alpha _{1}=\operatorname {arcctg} \left({\frac {\cos \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}-{\frac {\sin \varphi _{1}}{\operatorname {tg} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right).}$

Другая формула, удобная для компьютерных вычислений: ${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} {\frac {\cos \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\cos(\lambda _{2}-\lambda _{1})}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}.}$ Удобство в том, что можно воспользоваться стандартной функцией ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$, автоматически учитывающей знаки разностей широт и долгот: ${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {atan2} \left[\cos \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\cos(\lambda _{2}-\lambda _{1}),\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})\right].}$

Конечный азимут: ${\displaystyle \alpha _{2}=\operatorname {arcctg} \left({\frac {\sin \varphi _{2}}{\operatorname {tg} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}-{\frac {\cos \varphi _{2}\operatorname {tg} \varphi _{1}}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right).}$

Широта промежуточной точки как функция долготы: ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \left({\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}\cdot \sin(\lambda _{2}-\lambda )}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}+{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{2}\cdot \sin(\lambda -\lambda _{1})}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right).}$

Обозначения:

δ — угловая длина ортодромии,

D — длина ортодромии,

${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{1}}$ — широта и долгота точки отбытия,

${\displaystyle \varphi _{2}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$ — широта и долгота точки прибытия,

${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \lambda }$— широта и долгота промежуточной точки на ортодромии,

l — длина дуги 1° меридиана (на Земле l=111,1 км). Формулы приведены без учёта полярного сжатия. В случае расчётов в радианах, а не в градусах, l заменяется на радиус Земли (который равен длине дуги в 1 радиан на поверхности Земли).

	В Викисловаре есть статья «ортодромия»

• Картография
• Морская навигация
• Воздушная навигация
• Локсодрома

• Онлайн калькулятор : Путевые углы и расстояние между двумя точками на ортодроме