Длина кривой
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Ellipse_arc_length_approximation.gif/220px-Ellipse_arc_length_approximation.gif)
Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й) — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).
Определение
Для
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Arclength.svg/220px-Arclength.svg.png)
Например, пусть непрерывная кривая в трёхмерном пространстве задана параметрически:
(1) |
где , все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала на отрезков: . Соединение точек кривой отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных[2].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Cycloid_arc_length.gif/220px-Cycloid_arc_length.gif)
Связанные определения
- Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема[3].
- Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
- Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).
Свойства
- Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна.
- В математическом анализе выводится формула для вычисления длины отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:
(2) |
- Формула подразумевает, что и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.
- В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:
- .
- Если плоская кривая задана уравнением где — гладкая функция на отрезке значений параметра , то длина кривой определяется по формуле:
- В полярных координатах :
- Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.
История
Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»[4][5].
Первым достижением стало спрямление
Вариации и обобщения
Риманово пространство
В n-мерном
(3) |
Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:
- ,
где — метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в .
Общее метрическое пространство
В более общем случае произвольного метрического пространства длиной кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой определяется согласно формуле:
где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям отрезка .
См. также
Примечания
- Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2. Архивировано20 ноября 2012 года.
- ↑ Шибинский, 2007, с. 199.
- ↑ Шибинский, 2007, с. 201—202.
- Гостехиздат, 1938. — С. 49. — 297 с. — (Классики естествознания).
- ↑ Оригинал цитаты на французском языке: «la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes», см. Descartes R. Discours de la méthode.... — 1637. — С. 340. Архивировано 4 апреля 2017 года.
Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
- Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
- Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.